⇢ 
Анна
Задача по математике (5 класс)
Могут ли быть точным квадратом числа вида ХХYY или XXXYYY.
Если можно, - опишите ход мыслей.
ЯЖ
Яна Журавлева
xxyy=xx*100+yy=11*x*100+11*y=11(100x+y)=точный квадрат
Значит 100х+y делится на 11
Но 100х+y=99x+x+y
Значит x+y делится на 11.
Дальше перебор:
x=2 y=9, 2299
x=3 y= 8 3388
...
x=9 y=2 9922
проверяем эти 8 чисел и делаем вывод: ни одно из них не полный квадрат.
Значит число вида ххyy не может быть полным квадратом
xxxyyy=xxx*1000+yyy=x*111*1000+111*y=111(1000x+y)=полный квадрат
Значит 1000x+делится на 111
Но 1000x+y=9*111x+x+y делится на 111
Значит x+y делится на 111.
Но x+y <19. Противоречие.
Значит xxxyyy не может быть полным квадратом.
А теперь попробуйте сделать вывод: число вида xxxxx...xxyyyyy...yyy (количество цифр х и количество цифр у одинаково) , является ли полным квадратом? 
Наталия
xxyy = xx*100 + yy = n^2,
x*11*100 + y*11 = n^2,
т. о. n^2 делится на 11, но тогда и n делится нацело на 11, а n^2 делится на 11^2. Т. о. пусть n=11*k, тогда n^2 = 121*k^2,
11*( x*100 + y) = 121*k^2,
(x*100 + y)= 11*k^2, (1)
т. е. число (x*100 + y ) делится нацело на 11, т. е.
99*x + x + y = 11*k^2,
(x+y) обязано делится на 11.
x - это число, выражаемое одной цифрой, отличной от нуля.
y - это число, выражаемое одной цифрой.
но тогда (x+y)>0, кроме того (x+y) <=18,
Т. о. единственный возможный вариант x+y = 11.
Рассмотрим все возможные такие (x,y)
(x,y) = (2,9), (9,2), (3,8), (8,3), (7,4),(4,7),(5,6),(6,5).
после деления числа x0y на 11, должен получиться точный квадрат (см. (1))
209/11 = 19, (не год. )
902/11 = 82 (не год. )
308/11 = 28 (не год. )
803/11 = 73 (не год. )
704/11 = 64 = 8^2 - годно!
407/11 = 37 (не год. )
506/11 = 46 (не год)
605/11 = 55 (не год)
Т. о. годной является только пара (x,y) = (7,4)
7744 является точным квадратом. (88)^2 = 7744.
Похожие вопросы