На какой высоте должна быть дырка, чтобы жидкость выливалась как можно дальше?

обозначим высоту уровня воды Н, высоту отверстия h`, H=h+h`. по закону Бернулли po*gh+po*v1^2/2=po*v2^2/2 (1), где v1 скорость снижения уровня воды в сосуде, v2 - скорость вытекающей струи. из условия неразрывности v1s1=v2s2, отсюда v1=v2(s2/s1)=v2*k (2), здесь k отношение площадей поперечного сечения сосуда и отверстия. подставляем (2) в (1) получаем h=v2^2(1-k^2)/2g (3). дальность полета струи (сопротивление не учитываем) L=v2*t=v2*√(2h`/g), отсюда v2^2=L^2g/2(H-h) (4). подставляем (3) в (4) получаем h=L^2(1-k^2)/4(H-h), или 4Hh-4h^2=L^2(1-k^2). берем первую производную по h и приравниваем 0. 4H-8h=0, отсюда h=H/2.