Найдите корень уравнения: (х+3)^3=-8

x=-5. Этот ответ получен подстановкой значения -5 в уравнение.

Ага. . (-19+3)^3= 16^3=4096.
Проверяете хоть, что пишете?
Берем корень кубический из обеих частей.
(x+3)^3^(1/3)=(-8)^(1/3)
x+3=-2
x=-5

Вообще говоря, нужно уточнять, над каким полем требуется найти корни.

Над полем вещественных чисел уже написали, х+3=-2, т. е. х=-5

Над полем комплексных чисел задача интереснее.

Найдем сначала все числа, которые при возведении в третью степень дадут 8.

Как известно, комплексное число представимо в виде:
А = B (cos(ф) + i sin(ф)) ,
где В - вещественное неотрицательное число, ф - вещественное число от 0 до 2п

Степень комплексного числа имеет вид:
А^к = B^к (cos(кф) + i sin(кф) )
при этом |А^к| = В^к.

Для третьей степени получаем: В^3 = 8, следовательно, В = 2
cos(3ф) + i sin(3ф) = -1
Следовательно, 3ф = п + 2пк, к=...-1, 1, 2,...
или ф = п/3 + 2/3пк
Получаем три разных аргумента: п/3, п, 5/3 п

Итак, корнями третьей степени из -8 над полем комплексных чисел являются три числа:
А_1 = 2 (cos(п/3) + i sin(п/3)),
А_2 = 2 (cos(п) + i sin(п) ) = -2,
А_3 = 2 (cos(5п/3) + i sin(5п/3)).

Соответственно, решением исходного уравнения будут три комплексных числа:
А_1 - 3 = 2 (cos(п/3) + i sin(п/3)) - 3,
А_2 - 3 = -5,
А_3 - 3 = 2 (cos(5п/3) + i sin(5п/3)) - 3.

Три корня: вещественный x=-5 и два комплексных x=-2+i*sqrt(3) и x=x=-2-i*sqrt(3).