При каких значениях p имеют общий корень уравнения? x^2+3x-p=0 ; px^2-x-1=0

При каких значениях p имеют общий корень уравнения? x^2+3x-p=0 ; px^2-x-1=0
x²+3x-p=0 ; px²-x-1=0
Уравнения имеют корни, если
Д=в²-4ас≥0
т. е.
Д₁=3²-4*1*(-р) =9+4р
9+4р≥0
р ≥ -2¼
Д₂=(-1)²-4*р*(-1)=1+4р
1+4р≥0
р ≥ -¼
Оба уравнения имеют решение, если
_____-2¼•/////////////-¼ХХХХХХХХХХХХХХХ→Х
рЄ[-¼;+∞]
В уравнении вида x²+px+q=0
сумма корней равна х₁+х₂=-р
произведение корней равно х₁*х₂= q
Отсюда
х¹₁+х₂=-3 ( для первого уравнения)………………………. (1)
х²₁+х₂=1/р ( для второго уравнения)…………………….. (2)
х¹₁*х₂=-р ( для первого уравнения)……………………….. (3)
х²₁*х₂=-1/р ( для второго уравнения)……………………….. (4)
Т. к. по условию есть общий корень уравнений, допустим х₂
Тогда из формулы (1) вычитаем (2) получим
х¹₁- х²₁=-3-1/р………………………………………………………………………… (5)
из формулы (3) вычитаем (4) получим
х₂( х¹₁- х²₁)=-р+1/р
С учетом формулы (5) получим
х₂( -р+1/р) =-р+1/р
х₂=(р²-1)/(3р+1)
Подставляем в любую из формул 1-4, получим
х¹₁*(р²-1)/(3р+1)=-р; х¹₁=-р (3р+1)( р²-1)
х²₁*(р²-1)/(3р+1)=-1/р; х²₁=(-3р+1)/р
Ответ: при рЄ[-¼;+∞] уравнения x²+3x-p=0 ; px²-x-1=0 имеют один общий корень, который равен х₂=(р²-1)/(3р+1)
Удачи!