первое to относится к listen (т. к. слушать что-либо - listen to smth)
второе - к like, потому что инфинитив
стандартная фраза listen to music - всегда употребляется с предлогом TO
также to используется с инфинитивом - I like to watch, i hate to read и тд (т. е. двойное действие - люблю смотреть, ненавижу читать, и тд)
"To" при английском глаголе - примерно то же самое, что "-ть" на конце русского глагола: указывает на то, что данный глагол следует воспринимать как неопределённую форму, т. е. не относящуюся ни к какому лицу, числу или времени.
Doesn't like TO listen = не любит слушаТЬ.
"То" после глагола listen - совсем иное дело. Таково уж управление этого глагола, что требует обязательного использования частицы "to". Неужели в школе на уроках русского языка не попадалось такого понятия, как управление глагола?)