Какие есть симметрии в математике?

Типы симметрий, встречающиеся в математике и в естественных науках:
двусторонняя симметрия — симметричность относительно зеркального отражения. (Билатеральная симметрия)
симметрия n-го порядка — симметричность относительно поворотов на угол 360°/n вокруг какой-либо оси. Описывается группой Zn.
аксиальная симметрия (радиальная симметрия, лучевая симметрия) — симметричность относительно поворотов на произвольный угол вокруг какой-либо оси. Описывается группой SO(2).
сферическая симметрия — симметричность относительно вращений в трёхмерном пространстве на произвольные углы. Описывается группой SO(3). Локальная сферическая симметрия пространства или среды называется также изотропией.
вращательная симметрия — обобщение предыдущих двух симметрий.
трансляционная симметрия — симметричность относительно сдвигов пространства в каком-либо направлении на некоторое расстояние.
лоренц-инвариантность — симметричность относительно произвольных вращений в пространстве-времени Минковского.
калибровочная инвариантность — независимость вида уравнений калибровочных теорий в квантовой теории поля (в частности, теорий Янга — Миллса) при калибровочных преобразованиях.
суперсимметрия — симметрия теории относительно замены бозонов на фермионы.
высшая симметрия — симметрия в групповом анализе.
кайносимметрия — явление электронной конфигурации (термин введён С. А. Щукаревым, открывшим его) , которым обусловлена вторичная периодичность (открыта Е. В. Бироном).