бегонии REX любят хороший полив, но в сухую и жаркую погоду, осенью полив сокращается, то что листья сохнут говорит о том что залили и наверное еще и холодной водой (вода комнатной температуры сейчас уже считается холодной) +возможный сквозняк, она не не любит попадания потоков холодного воздуха (например стоит под открытой форточкой). Если действительно корневая нормальная и есть пара здоровых листьев исправляйте ошибки в уходе, тем самым спасете растение, если новых растущих листьев нет, думаю шансов на выживание уже не будет, нежное растение.
Часто поливали. Откуда Вы знаете, что корень хорош? Выкапывали?
Выньте из горшка и осмотрите корни, если нет вредителей снаружи, на листьях.
И фото бы, так заочно диагноз не поставить.
Да откуда там хорошие корни? Их давно уже сгноили, поэтому, а не почему-то там ещё, и сохнет листва. Даже не сомневайтесь.
Если корень хороший, то срезать верхушки. Растение пустит новые сильные побеги.