ИЗ этимологического словаря ФАСМЕРА:
ШАРОМЫГА - шеромыга "мошенник, бродяга, дармоед", на шеромыжку "обманом". Объясняют из франц. сhеr аmi "дорогой друг" – обращение солдат наполеоновской армии к русским; см. Дурново, Томсон, Христиани, Эман, Мem. Sос. Neoph. ; Савинов предполагает сближение по народн. этимологии с шарить и мыкать. Скорее преобразовано по аналогии образований с суф. -ыга, ср. Ватыга. Следует отклонить попытки исконнослав. этимологии [Черных ("Вестник МГУ", 4, 1959, стр. 149) связывает с шарма, шаром "даром". – Т.]
От французского "шерами" -Дорогой друг.
Солдаты армии Наполеона, бегущие из России в 1812 году заходили в крестьянские дворы и просили еды. При этом они обращались "Шер ами", т. е. "Дорогой друг". Русские стали называть их шерамыжники. То бишь "попрошайки".
Во время войны 1812 года, после того как армия Наполеона была разбита. Французы ходили по деревням и просили милостыню при этом добавляя- "шер ами" - дорогой друг. Вот оттуда и пошло слово "шаромыжник"
скорее шарамыжник от слова шара - или поденный работник
после войны 1812 года когда хранцузы ходили и жрать просили -шароми (милый друг) как то так
От cher ami, взять шаромыгаю, нашаромыжничать, взять даром.