как можно найти матрицу X, если X*X^T = A; X^T - транспонированная матрица X; матрица A известна, квадратная

Question

Юлия Козлова · Accepted Answer

Есть такое смутное подозрение, что если существует искомое разложение, то матрица A - симметричная (A^T = A), положительно определенная. Это, в свою очередь, означает, что можно, например, воспользоваться разложением Холецкого.

Timur Chik · Answer

1. Во-первых, не для любой А это выполнимо. Прямо из уравнения следует, что A^T=A, т. е. А - симметричная. 
2. Во-вторых, если одно решение существует, то их количество бесконечно. 
В самом деле, пусть Х - решение. Тогда решением будет также и любая матрица, получаемая из Х произвольным добавлением к ней любого количества нулевых столбцов. 
3. Если Х - симметрична, то решение, видимо, единственно 
 (по крайней мере, если А имеет полный набор различных неотриц. собств. чисел) . 
Представим A=UDU^T, где U - м-ца собств. векторов А; D - диаг. м-ца её собств. чисел. 
Тогда X=A=UD^(1/2)*U^T.