Определить, какое количество товаров X и Y будет приобретать потребитель, чтобы максимизировать полезность, если доход равен 100ден. ед. в месяц. Цена товара X – 10ден. ед. , а цена блага Y – 5ден. ед. Функция полезности потребителя имеет вид U(X,Y)=X * Y.
Это, вроде как, задача нелинейного программирования?
Мат. формулировка такая?
План (X;Y)
U(X,Y) = X*Y -> max.
10*X+5*Y <=100
X, Y >=0
Если так, то область D допустимых планов - прямоугольный треугольник АОВ, координаты вершин:
А (10;0); О (0;0); В (0;20)
Дальше задача решается стандартным методом математического анализа о поиске максимального значения
функции U в области D.
1) Находим стац. точки функции U:
Ux` = Y = 0
Uy` = X = 0
Стац. точка О (0;0) принадлежит области D. Uo = U(0,0)=0.
2) Проверяем, нет ли критических точек на границе области.
а) отрезок АО. Уравнение Y=0; 0<=X<=10. Функция U в каждой точке этого отрезка принимает нулевое значение.
б) отрезок ОВ. Уравнение X=0; 0<= Y<=20. В каждой точке этого отрезка функция также равна нулю.
в) отрезок АВ. Уравнение Y = 20 - 2*X; 0<=X<=10. На этом отрезке функция U превращается в функцию одной переменной:
U(X, 20 - 2*X) -> F(X) = X*(20 - 2*X) = 2*(10*X - X^2).
Критическая точка этой функции:
F`(X) = 2*(10 - 2*X) = 0; X = 5
принадлежит отрезку АВ, при этом Y = 20 - 2*5 = 10.
Очевидно, U(5,10) = F(5) = 5*10 = 50.
Данное значение функции полезности U и является максимальным на множестве допустимых планов.
Оптимальный план: (5; 10), т. е. потребитель должен покупать 5 единиц товара Х и 10 единиц товара Y, чтобы, в пределах своего месячного дохода максимизировать функцию полезности, и Umax = 50
⇢