Какая разница между bank transfer и bank wire?

Первое, обычно, перевод внутри банка с одного счета на другой. Или с одного своего счета в одном банке на другой свой счет в другом банке внутри страны.
Второе же - перевод со своего счета на любой другой счет, любого другого (в том числе иностранного) банка.

>На одном сайте две разные кнопки с данными названиями.
тут, скорее всего, речь о том, что для bank transfer вы указываете на сайте данные - routing номер банка и номер счета в нем, сайт сам снимает деньги.
для Wire Transfer вам нужно дать инструкции своему банку, чтобы перевели туда то, на такой то счет (той компании) такую то сумму.