Какую роль играет MySQL в управлении сайтом?

Почему именно MySQL? СУБД много разных, хотя, конечно, эта популярнее других.

Никакого. СУБД управляет базами данных, в которых эти данные и хранятся, записываемые и извлекаемые серверными технологиями (например скриптами) . К управлению это не имеет никакого отношения. Управление (администрирование) сайта осуществляется обычным клиент-серверным образом посредством серверной и, при необходимости, клиентской программной частью с уже готовой, заранее определённой структурой БД и её таблиц.