Задача 1. Сумма двух
Чему равна сумма двух чисел, если она в 7 раз больше одного из них и на 8 больше другого?
Задача 2. Много цифр
Пару соседних цифр в многозначном числе назовем хорошей, если при их перестановке число увеличивается. Какое наибольшее количество цифр может быть в многозначном числе, если известно, что все пары соседних
цифр в нём, кроме 3, хорошие?
Задача 3. Строчки и столбики
В квадрате 160 × 160 закрашено несколько клеток. В каждой строчке есть либо 1, либо 7 закрашенных клеток, а в каждом столбце есть либо 3, либо 4 закрашенных клетки. Какое наименьшее число клеток может быть закрашено?
Задача 4. Большой куб
Мистер Фокс сложил большой куб из одинаковых маленьких кубиков.
Затем он покрасил некоторые грани получившегося большого куба, а затем разобрал его обратно на маленькие кубики.
Число кубиков, у которых нет ни одной покрашенной грани, оказалось равно 45.
У скольких кубиков есть хоть одна покрашенная грань?
Задача 5. Десять квадратов
Прямоугольник разделён на 10 квадратов.
Периметр закрашенного квадрата равен 72.
Найдите площадь исходного прямоугольника.
РИСУНОК ЕСТЬ ВНИЗУ!!!
Задача 6. Отметки
В дневнике Поли в текущей четверти стоит 16 отметок по математике; в дневнике Тани — такое же число отметок по тому же предмету. Поля получила пятёрок столько же, сколько Таня четвёрок, четвёрок столько же, сколько Таня троек, троек столько же, сколько Таня двоек, и двоек столько же, сколько Таня – пятёрок. При этом средний балл в этой четверти у девочек одинаковый. Сколько двоек получила Поля?
Задача 7. Вычёркиваем цифры
Сколько существует 2015-значных чисел таких, что при вычёркивании его любой одной цифры получается 2014-значное число, и это 2014-значное число является делителем исходного числа (Напомним, что многозначное число не может начинаться с нуля и что на ноль ничего не делится, кроме, быть может, нуля)?
Задача 8. Тупые углы
На плоскости из одной точки отложено 24 лучей. Какое наибольшее количество тупых углов могут образовывать пары этих лучей?
Задача 10. Лестница
Дана клетчатая фигура в виде лестницы, содержащей n ступенек (на рисунке приведён пример для n=11).
Сколько значений n, удовлетворяющих неравенству 300<n<1600, для которых данную лестницу можно разрезать на уголки из трёх клеток?
Уголок из трёх клеток — клетчатая фигура, состоящая из трёх клеток, одна из которых имеет общие границы с двумя другими, причём эти общие границы являются соседними сторонами этой клетки:
кАРТИНКИ ВНИЗУ.
   
1) Раз сумма в 7 раз больше числа, то сотношение чисел 1:6. Решение в одну строку.
2) Хорошая пара = вторая цифра меньше первой. Найдите наибольшее количество хороших пар в числе. Решение в одну строку.
3) Столбцы. К квадрате не менее 160*3 закрашенных клеток. Строки. Будем увеличивать это число до тех пор, пока мы не сможем обеспечить нужное количество в строках. А это означает "можно отнять 160 по 1 клетке, остаток (по 6 клеток) должен делиться на 6". Ну и пример обязателен.
4) Оценить 45 сверху и снизу в зависимости от стороны куба n. Т. е. число незакрашенных кубиков должно быть менее ...и не менее ...Решение в две строки.
5) Найти сторону закрашенного, потом найти сторону маленького, потом - среднего. Устная задача.
6) Обозначить количество каждой оценки буквами (всего 4 буквы в задаче) и всё записать. Решение в две строки.
Остальное - потом в комментариях.
{x+y=7x;
{x+y=y+8. =>
y=6x
x=8
y=48
x+y=7x=56
x+y=y+8=56
---
3.Если в каждом столбце по 3 закрашенных клетки, то всего 3*110=330 закрашенных клеток.
Если в каждом столбце по 4 закрашенных клетки, то всего 4*110=440 закрашенных клеток.
Значит, количество клеток 330 <= N <= 440.
Пусть будет a столбцов по 4 клетки и b столбцов по 3 клетки.
4a + 3b = N
a + b = 110; b = 110 - a
А по строкам пусть x строк по 7 клеток и y строк по 1 клетке.
7x + y = N
x + y = 110; y = 110 - x
Получаем такое уравнение с 2 неизвестными:
4a + 3(110 - a) = 7x + 110 - x = N --> min
4a + 330 - 3a = 6x + 110
a + 220 = 6x
Наименьшее решение:
x = 37, потому что 37*6 = 222 - наименьшее кратное 6, больше 220
Тогда а = 6x - 220 = 222 - 220 = 2, b = 110 - 2 = 108; y = 110 - 37 = 73.
N = 4a + 3b = 4*2 + 3*108 = 7x + y = 7*37 + 73 = 332
Ответ: N = 332
Закрашено всего 394 клетки, это 44 строки по 7 и 86 строк по 1 клетке, или 4 столбца по 4 и 126 столбцов по 3 клетки.
1) Раз сумма в 7 раз больше числа, то сотношение чисел 1:6. Решение в одну строку.
2) Хорошая пара = вторая цифра меньше первой. Найдите наибольшее количество хороших пар в числе. Решение в одну строку.
3) Столбцы. К квадрате не менее 160*3 закрашенных клеток. Строки. Будем увеличивать это число до тех пор, пока мы не сможем обеспечить нужное количество в строках. А это означает "можно отнять 160 по 1 клетке, остаток (по 6 клеток) должен делиться на 6". Ну и пример обязателен.
4) Оценить 45 сверху и снизу в зависимости от стороны куба n. Т. е. число незакрашенных кубиков должно быть менее ...и не менее ...Решение в две строки.
5) Найти сторону закрашенного, потом найти сторону маленького, потом - среднего. Устная задача.
6) Обозначить количество каждой оценки буквами (всего 4 буквы в задаче) и всё записать. Решение в две строки.
Никита взял доску 4х4 и на каждую клетку поставил столбик из кубиков.
1) Раз сумма в 7 раз больше числа, то сотношение чисел 1:6. Решение в одну строку.
2) Хорошая пара = вторая цифра меньше первой. Найдите наибольшее количество хороших пар в числе. Решение в одну строку.
3) Столбцы. К квадрате не менее 160*3 закрашенных клеток. Строки. Будем увеличивать это число до тех пор, пока мы не сможем обеспечить нужное количество в строках. А это означает "можно отнять 160 по 1 клетке, остаток (по 6 клеток) должен делиться на 6". Ну и пример обязателен.
4) Оценить 45 сверху и снизу в зависимости от стороны куба n. Т. е. число незакрашенных кубиков должно быть менее ...и не менее ...Решение в две строки.
5) Найти сторону закрашенного, потом найти сторону маленького, потом - среднего. Устная задача.
6) Обозначить количество каждой оценки буквами (всего 4 буквы в задаче) и всё записать. Решение в две строки.
7 задача
Пусть многозначное число равно 10A + c, c — последняя цифра. После вычёркивания последней цифры получаем A, А — делитель числа 10А + с, тогда c делится на А. Если А > 9, то с = 0; при 1 <= c <= 9 c строго меньше A, поэтому с не может делиться на А.
Из этого получаем, что все числа, у которых есть шанс оказаться хорошими, имеют вид ab0000...0, причем a, b — не нули. Вычёркивание нулей удовлетворяет условию, проверяем вычёркивание a и b.
Вычеркивание a: ab0000...0 делится на a0000...0, значит, 10a + b делится на a, откуда b делится на a.
Вычёркивание b: ab0000...0 делится на b0000...0, значит, 10a + b делится на b, откуда 10a делится на b.
b делится на a: обозначим b = ka, k — натуральное, не большее 9.
10a делится на b, значит, 10a делится на ka, k — делитель 10. Остаются варианты k = 1, 2 или 5.
k = 1: a = b, 9 вариантов (11... -99...)
k = 2: b = 2a, 4 варианта (12...,24...,36...,48)
k = 5: b = 5a, 1 вариант (15...)
Всего 9 + 4 + 1 = 14 чисел.
{x+y=7x;
{x+y=y+8. =>
y=6x
x=8
y=48
x+y=7x=56
x+y=y+8=56
