Можно ли продлить временное разрешение на управление т/с? И где?

Вопрос разъяснен, во первых,
http://www.garant.ru/main/12025267-027.htm#par3270
3. При совершении административного правонарушения, влекущего лишение права управления транспортным средством соответствующего вида, у водителя, судоводителя, пилота изымается водительское удостоверение, удостоверение тракториста-машиниста (тракториста), удостоверение судоводителя, удостоверение пилота и выдается временное разрешение на право управления транспортным средством соответствующего вида на срок до вступления в законную силу постановления по делу об административном правонарушении, но не более чем на два месяца. В случае, если дело об административном правонарушении не рассмотрено в течение двух месяцев, срок действия временного разрешения на право управления транспортным средством соответствующего вида по ходатайству лица, в отношении которого ведется производство по делу об административном правонарушении, продлевается судьей, органом, должностным лицом, правомочными рассматривать дело об административном правонарушении, на срок не более одного месяца при каждом обращении. При подаче жалобы на постановление по делу об административном правонарушении срок действия временного разрешения на право управления транспортным средством соответствующего вида продлевается судьей, должностным лицом, правомочными рассматривать жалобу, до вынесения решения по жалобе на постановление по делу об административном правонарушении.

Во-вторых , изложен в
http://www.gibdd.ru/news/main/?20071225_vr
Начальникам управлений (отделов) ГИБДД МВД, ГУВД, УВД по субъектам Российской Федерации 21.12.2007 г. направлено указание №13/9-241 об использовании бланков временных разрешений:

С 1 января 2008 года вступает в силу приказ МВД России от 21.10.2007 г. № 887 "О внесении изменений в образец временного разрешения на право управления транспортным средством, утвержденный приказом МВД России от 1 августа 2002 г. № 720".
...
При выдаче после 1 января 2008 года взамен изъятого водительского удостоверения временного разрешения образца 2002 года, лицо, в отношении которого ведется производство по делу об административном правонарушении, уведомляется о сроке действия временного разрешения и порядке его продления. Во временном разрешении после слова "правонарушении" делается запись ", но не более чем на два месяца". О продлении срока действия такого временного разрешения на его оборотной стороне производится соответствующая запись и заверяется печатью.

При направления дела об административном правонарушении для рассмотрения по месту жительства лица, в отношении которого ведется производство по делу, или по месту учета транспортного средства продление временного разрешения осуществляется лицом, правомочным рассматривать дело по месту жительства лица, в отношении которого ведется производство по делу, или по месту учета транспортного средства. Если дело об административном правонарушении к моменту обращения лица, в отношении которого ведется производство по делу, не поступило лицу, правомочному рассматривать дело, продление временного разрешения осуществляется при предъявлении копии протокола по делу об административном правонарушении либо иных документов, подтверждающих направление дела по территориальности.

В случае не поступления дела об административном правонарушении по истечении пяти месяцев с момента его возбуждения, лицу, в отношении которого ведется производство по делу, предлагается обратиться в подразделение ГИБДД с заявлением о выдаче водительского удостоверения взамен утраченного.

То есть, продлевать ВР должен судья, правомочный рассматривать Ваше дело (или жалобу на постановление по делу, если таковое постановление уже вынесено. В ситуациях пересылки дела, как сказано выше, когда дело застряло где то в пути, см. разъяснения ДОБДД МВД РФ. Если уточните ситуацию, то можно дать и более конкретный совет.

Идёшь в ГАИ на разговор с инспектором, который всеми этими вопросами занимается (выдача прав, врем. разрешений и т. п.) . Он на основании имеющихся у него данных либо продлевает, либо как решил суд. В любом случае надо идти туда.