истечение срока временного разрешения

Временное разрешение на право управления ТС по Вашему ходатайству продлевается судьей, органом, должностным лицом, правомочными рассматривать дело об административном правонарушении (часть 3 статьи 27.10 КоАП РФ)
То есть, продлить временное разрешение на право управления ТС может исключительно лицо, которое бедет рассматривать Ваше дело. .

Дела об административных правонарушениях рассматриваются:
1. По месту совершения административного правонарушения.
2. По месту учёта транспортного средства, если речь идёт о лишении права управления.
3. По месту Вашего жительства, в случае удовлетворения Вашего ходатайства о рассмотрении дела по месту Вашего жительства.
То есть, надо разбираться - куда направлено дело для рассмотрения.. .
И в зависимости от того, кому направлены материалы для рассмотрения - тот и должен продлевать "времянку"...

Тут ещё вопрос в другом - а не рассмотрено ли уже Ваше дело?

А Вы уверены, что до сих пор нет судебного решения? Заявлялось ли Вами при составлении протокола ходатайство о передаче дела по месту вашего жительства или по месту учета транспортного средства ?

Под лежачий камень вода не течет. Это к тому, что не надо ждать приглашений, а самому давно надо было в местном подразделении адмпрактики в ГИБДД узнать все дела. Временное разрешение теряет свою силу : а) с момента вступления в законную силу решения суда по этому вопросу ; б) с момента истечения срока дейсвия, указанного в нем.