Проходить ТО?

Возраст авто считается с года выпуска, а не продажи.
"Статья 15. Периодичность проведения технического осмотра
...2. Не требуется проведение технического осмотра в первые три года, включая год выпуска, в отношении следующих транспортных средств (за исключением транспортных средств, указанных в пунктах 1 и 3 части 1 настоящей статьи)... " (ФЗ
от 01.07.2011 N 170 "О техническом осмотре ТС… ").
Про месяцы выпуска ничего не сказано. Так что получается, что машине надо проходить техосмотр в 2014 году. И страховку Вам без ДК скорее всего не оформят.

Три года ТО не проходят. Конечно, не нужно.

обычно с салона машину можно эксплуатировать в течение трех лет без прохождения ТО!

Если бы сейчас был декабрь 2014 года, то тогда с Вас могли потребовать новый талон ТО, а на данный момент машине нет 3 лет, поэтому не имеют права отказать в страховке.

ДА, нужно. Иначе ОСАГО не выпишут, т. к. "тупо по системе машине 3 года" - сама в точно такой же сейчас оказалась ловушке.
Купили новый автомобиль в салоне в апреле 2012 (по ПТС возраст авто с декабря 2011 года) - сейчас, в апреле 2014 года не оформляют полис ОСАГО без диагностической карты (ТО) , пришлось оформлять и таким образом целый год (!) терять.. . Следующий осмотр в 2016 (вместо 2017). БРЕД - это то, что ГРАЖДАНСКУЮ ответственность привязали к АВТОМОБИЛЮ, а не ГРАЖДАНИНУ.