Может ли человек чьи родственники не однократно судимые работать в милиции либо в пракуратуре?

Да, может
Вот, что об этом говорит Закон "О милиции" (Статья 19)

На службу в милицию имеют право поступать граждане Российской Федерации не моложе 18 лет и не старше 35 лет независимо от пола, расы, национальности, языка, происхождения, имущественного и должностного положения, места жительства, отношения к религии, убеждений, принадлежности к общественным объединениям, имеющие образование не ниже среднего (полного) общего образования, способные по своим личным и деловым качествам, физической подготовке и состоянию здоровья исполнять возложенные на сотрудников милиции обязанности.

Не могут быть приняты на службу в милицию граждане, имеющие либо имевшие судимость, а также граждане, уголовное преследование в отношении которых прекращено за истечением срока давности, в связи с примирением сторон, за исключением уголовных дел частного обвинения, вследствие акта об амнистии, в связи с деятельным раскаянием.

Не могут быть приняты на службу в милицию граждане, лишенные на определенный срок вступившим в законную силу решением суда права занимать должности сотрудников милиции, в течение указанного срока.

Только на практике все по-другому. Если и будете работать в милиции, то выше участкового не подниметесь.
А поступать в институт Вам точно никто не запретит. Да и не обязательно с юридическим образованием работать именно в органах. Есть и другие направления, где может понадобиться знание и умение применять законы.

Однозначно-НЕТ