ребенок при рождении сразу становится гражданином? или нужно гражданство получить и где?

Приобретение гражданства возможно по-разному, т. е. разными способами. В законодательстве разных стран приобретение гражданства существенно отличается.
Например, существует приобретение гражданства по-рождению (филиация) , которая бывает:
- по праву крови или получение гражданства через брак родителей — ребёнок приобретает гражданство в случае, если его родители (или один родитель) имеет гражданство данного государства,
- по праву почвы — ребёнок приобретает гражданство государства, на территории которого был рождён,
Еще есть натурализация — вступление в гражданство лица по его желанию, в каждом гос-ве существует порядок принятия гражданства, которая происходит через регистрацию или дарование гражданства. Возможны формы оптации или трансферта.

P.S. Уточняйте государство и имеющие существенное значение обстоятельства (дата рождения, гражданство родителей и т. д.) .

Например, в РФ, основания приобретения гражданства:
а) по рождению;
б) в результате приема в гражданство Российской Федерации;
в) в результате восстановления в гражданстве Российской Федерации;
г) по иным основаниям, предусмотренным настоящим Федеральным законом или международным договором Российской Федерации.

В России: ребенок приобретает гражданство Российской Федерации по рождению, если на день рождения ребенка:
а) оба его родителя или единственный его родитель имеют гражданство Российской Федерации (независимо от места рождения ребенка) ;
б) один из его родителей имеет гражданство Российской Федерации, а другой родитель является лицом без гражданства, или признан безвестно отсутствующим, или место его нахождения неизвестно (независимо от места рождения ребенка) ;
в) один из его родителей имеет гражданство Российской Федерации, а другой родитель является иностранным гражданином, при условии, что ребенок родился на территории Российской Федерации либо если в ином случае он станет лицом без гражданства;
г) оба его родителя или единственный его родитель, проживающие на территории Российской Федерации, являются иностранными гражданами или лицами без гражданства, при условии, что ребенок родился на территории Российской Федерации, а государство, гражданами которого являются его родители или единственный его родитель, не предоставляет ребенку свое гражданство.

В разных странах и при разных обстоятельствах этот вопрос решается по-разному. Если, например, Рязанская путана родит где-нибудь в Палермо, то ее ребенок гражданином Италии ни "сразу", ни чуть погодя, вряд ли станет....

в свидетельстве о рождении есть строка - гражданство мамы и папы
оба родителя граждане России - ребенок гражданин России

сразу.