как получить свидетельство о рождении детям, если мать гражданка Грузии?

Эти чиновники вымогают у вас взятку. Никакого отношения не имеет метрика ребенка с вашим статусом в РФ и с тем, сочетались браком с его отцом или нет. И не слушайте Алену (выше) , глупости она говорит, что на родину возвращаться вам не следует. Удачи.
Вот ссылка, может пригодится https://www.facebook.com/GEOPASS2013?fref=ts

если брак не оформлен, у вас нет мужа. Если отцовство он признает, то ЗАГС выдаст св-ва о рождении детей, и они получат гр-во России. А проблемы со своими документами решайте сами. Тут целиком и полностью ваша вина.

А в браке с гражданином РФ вы состоите? Если так, по родители, имеющие разное гражданство, сами решают гражданами какой страны будут их дети. Ваши дети давно могли получить свидетельство о рождении в РФ, как граждане РФ. Если вы в РФ не легализованы, то вас депортируют из РФ вместе с детьми. Детей у вас не отберут. Чтобы не ждать суда над вами и принудительной депортации, уезжайте из РФ сами любыми доступными способами. На границе вас в любом случае оштрафуют. Для получения паспорта гражданки Грузии пытайтесь связаться с Посольством Грузии в РФ и там получить документы для выезда из РФ на себя и детей.
Если брак не зарегистрирован, то вашему сожителю в судебном порядке стоит признать себя отцом ваших детей и оформить на них свидетельство о рождении.

В Грузии вас осуждать будут все. На Родину вам лучше не возвращаться.