Проблема с dell studio 1537. Однажды перестала заряжаться батарея - при подключении блока питания индикатор не светится,

Из вашего вопроса не ясно работает ли вообще ноут, индикатор на блоке питания не светиться или на самом ноуте? !
Хотя это не принципиально.. . Вероятнее всего проблемы с блоком питания! Первым делом я бы проверил тестером БП выдаёт ли он положенные 19,6v (может занижать или вообще не выдавать напругу) Вариант хуже - если это проблемы с батарейкой, а точнее её мозгами.. .
PS: Может существовать ещё более экзотичный вариант - горячая клавиша на вашей модели похожа на Fn-F3 - которая отключает/включает зарядку батареи (у меня на Dell E6400 такая комбинация была, на кнопке была нарисована батарейка с молнией)

PS: После вашего уточнения, ответ неизменный - первое, что надо смотреть внешний блок питания!! ! Он у вас тонкий (склонен к перегреву) и к тому же большой мощьности 90W.
Я бы поехал на рынок - и попросил бы есть ли такой адаптер, проверить на месте и купить сразу если всё получится. Что батарея, что адаптер неразборные, практически неремонтопригодные и смысла платить за диагностику не вижу, а сам адаптер PA-3E стоит около 2000р

Вариантов два:
или батарея выработала ресурс, или блок питания перестал корректно определяться ноутбуком. В БИОС зайди и посмотри что пишет про блок питания, если пишет что-то типа PA-13, и никакой другой ругани, значит батарея померла. Можешь в сервис обратиться за диагностикой, рублей в тыщу это встанет....сюда, допустим: http://service.wna.ru/rus/contacts/