Фанеру какой толщины приобрести ?

Недостаточно информации для точного ответа. Если есть внутренняя вертикальная стенка, если есть несъёмные полки - годится и 3-слойная фанера, которая будет отлакирована со внутренней сторогны, хотя бы в один слой лака с подшлифовкой. Но крепить надо густенько, и к полкам тоже. Так как задняя стенка - несущая, принимающая на себя бОльшую часть нагрузок вправо-влево, особенно при перемещении шкафа.
Если внутренних перегородок, полок нет - 7-слойная фанера, или больше, с частым крепежом по всему периметру тонкими шурупами длиной не менее 25 мм, в предварительно засверленные и раззенкованные отверстия, под шляпку впотай (надёжнее и жёстче держат).
Если есть большие перепады влажности - необходим специальный материал, или стабилизированная фанера, или водостойкий оргалит. Но он необходим минимум в 2 слоя, с склеиванием сплошным слоем клея .
Недолговечный шкаф, не будет передвигаться всё время службы, хозяева непьющие, нескандалящие, нет детей - сойдёт и 1 слой оргалита с гвоздиками или скобками по периметру.

если речь действительно о фанере, то самой тонкой, имеющейся в наличии, смъсловой нагрузки в ней нет, чуть придержит диагонали, т. е и 4мм вполне

для задней стенки достаточно оргалита

ДВП купить по периметру задней стенки, прикрутить на саморезы.

6 мм достаточно. Шкафы заводского производства вообще оргалитом обшивали

Задняя стенка оргалит

ДВП 4-5 мм.

ДВП.. и никакой фанеры...

бери 18мм, гроб должен быть надёжным, хотя и 6мм достаточно, чтобы конструкция не развалилась сразу

ДВП легче и красивее было-бы, но остаток очень большой при покупке цельного листа. Так что берите тонкую фанеру какая есть в магазине. Нагрузку по сути никакой, если не будете вещи запихивать насильно.

Заднюю стенку шкафа на мебельных фабриках делают из ДВП ( древесно волокнистая плита толщиной 5-6 мм) ,но можно и из фанеры сделать для этого вполне подойдет 5 миллиметровой толщины.

3 мм. за глаза. Задняя стенка никакой нагрузки не несёт. На производстве для этого используют ДВП 3 мм. Дешевле и листы большие, стыковать не надо.