Наказание за нанесение несовершеннолетнему побоев и затем распространение фото в соц. сетях

Прокуратура дел не возбуждает, но Вы можете подать заявление им, а они перешлют его по подследственности.
Делами по статье 116 УК РФ занимаются дознаватели полиции. А по 282 УК РФ следователи Следственного комитета.
Нужно было сразу же "снять побои". Для этого нужно было как минимум обратиться в травмпункт. Это обязательная процедура, которая влияет на квалификацию деяний.
Возможно, что это будет всего лишь ст. 6.1.1 КоАП РФ (в зависимости от того, что на видеозаписи).
Ну и нужно учесть возраст нападавших. Если им нет ещё 16 лет, то они никакой ответственности не понесут. Только на учёт в ПДН поставят.

Побои "снимали"? Какая степень вреда здоровью?

пиши заявление и в полицию и в прокуратуру, все равно им ничего не будет, а по гражданскому иску, у тебя если деньги есть от 120 000 на адвоката, то может какие крохи с них отсудишь, приучи дочку таскать газовый баллончик, раз не можешь ее защитить!

в полицию по делам несовершеннолетних

Писать заявление в полицию, следователь на основе фактов решит возбуждать ли дело по 116 и 282 ст. УК.

Вам нужно идти в полицию, там подавать заявление и они сами всё сделают по нужной статье. По идее это хулиганство, хотя может быть много нюансов, проще наверное проконсультироваться у юристов, они подскажут точнее, задайте вопрос, только правильно его сформулируйте и вам ответят. Как вариант http://megalaw.ru/ Консультация бесплатна, ответ приходит на электронную почту.

Вам нужна помощь специалиста по этому очень серьёзному вопросу. Сходите к участковому, это самое главное. Ещё в полиции есть отдел по работе с несовершеннолетними, там должны проконсультировать. Заявление всеравно напишите в свой районный отдел, снимите побои по направлению из отдела куда будете писать заявление. Об этом тоже нужно рассказать. Побои можно зафиксировать в медико-судебной экспертизе за деньги, но если "по направлению", то просто в травмпункте бесплатно или у хирурга даже. Действовать желательно быстро, не медлите. Заживет все быстро. По распространению - к адвокату.