Если в больницу обратился пациент с огнестрельным ранением, обязано ли учреждение сообщить об этом в МВД?

Не только огнестрельное.
Любые повреждения, подозрительные на насильственные действия в отношении потерпевшего должны быть описаны в медицинской документации при проведении осмотра и в местный орган внутренних дел направлена телефонограмма - извещение.
Приказ Министерства здравоохранения и социального развития Российской Федерации (Минздравсоцразвития России) от 17 мая 2012 г. N 565н г. Москва "Об утверждении Порядка информирования медицинскими организациями органов внутренних дел о поступлении пациентов, в отношении которых имеются достаточные основания полагать, что вред их здоровью причинен в результате противоправных действий".

Обязана.

в полицию, однозначно

И огнестрельное, и ножевое. Обязаны.

Естесно! Стопудов! Более того, если это не огнестрел, а травма, тоже будут выяснять, как минимум допрашивать пациента, особенно если травма получена на территории принадлежайшей тем или иным минестерствам, например на транспорте! Поскользнулся и сломал ногу на вокзале, или на мосте через дорогу, или на обочине дороги, это зона отвественности ментов или дорожной полиции, они будут выяснять как получена травма, не нанесли ли ее злоумышленики, пациента будут допрашивать.

Да! согласно Приказу Минздравсоцразвития РФ от 17.05.2012 N 565н "Об утверждении Порядка информирования медицинскими организациями органов внутренних дел о поступлении пациентов, в отношении которых имеются достаточные основания полагать, что вред их здоровью причинен в результате противоправных действий" (Зарегистрировано в Минюсте России 25.07.2012 N 25004)

обязательно

даже с побоями

Это закон, ничего лишнего.

Причём пулю будут удалять после того, как менты допросят.

Даа

На любые колющие и режущие ранения подозрительные в плане криминала, а так же на огнестрельные и минно-взрывные ранения врач обязан известить полицию

Да.