Какова минимальная высота горы на которую обычно поднимаются альпинисты?

Высота тут ни при чём, вопрос в категории трудности. Заблудиться-сорваться-замёрзнуть-поймать камень-провалиться в трещину можно и на небольших высотах.
Не дури.

На Кавказском хребте лично ходил до 2-2,5 км.
Там ещё приемлемо, а дальше без снаряжения делать нечего.
Да и погодка там суперская.. . днём + 30 и выше, а ночью ветром сдувает начисто...

Да, да, можно и на 10 метрах так убраться, что мало не покажется. Тут надо на высоту смотреть а общёю сложность, которая зависит от рельефа, породы, углов, наличия разных щелей и прочих преград и т. п. и т. д. Если охота прогуляться, езжайте в Хибины (Кольский п-в, Мурманская обл. , г. Кировск) . Поездом от Питера за сутки доберётесь. Там высоты 1000 - 1200 метров, залазить будете часа по 3 - 4 очень не спеша, так-что как раз вам на световой день залезть и спуститься. Подготовки особой там не надо, лишь бы дыхалка работала и обувь была подходящая (лучше всего трекинговые боты) . Виды пьянящие, не пожалеете, впечатлений будет масса. При этом, можно очень бюджетно жить у частников (около 300 руб/сутки картиру снимать там стоит в лыжный сезон, думаю летом должно быть дешевле) . Вершин облазить там несколько вариантов, на неделю хватит, даже не парьтесь. До кучи ещё можно до белого моря сгонять (там рядом совсем) , а можно попробовать в Североморск сгонять (там военная база с атомными подводными лодками очень серьёзная, если получится туда сходить, то вообще супер, но туда, наврняка не пускают просто так) .
Можно ещё на Камчатку поехать, там то же есть где погулять в гору, да много ещё чего есть в России. Просто дороговато на Камчатку получается ((((( Хотя, смотря от куда )))))
Уральские горы то же очень красиво, но что бы дробраться, например до Мань-Пупынёра или хотя бы до Ослянки, надо иметь снарягу соответствющую. Сами горы пологие - знай топай вверх, пока дыхалки хватает, но что бы туда добраться, надо либо вертак (до Ослянки можно и на уазике добраться) , или пешкой, а это уже подготовка соответствующая, что бы со снарягой и едой сутками в пути топать.

3000метров