Остается ли долг по выплате алиментов за бывшим мужем, после совершеннолетия ребенка?

Остаётся. Алименты - это денежные средства, которые родитель обязан выплачивать на содержание своего ребёнка.
Если он по каким-то причинам не платил - алименты не "сгорают" по достижении ребёнком 18 лет, просто с этого момента родитель не обязан его содержать. Но то, что он ОБЯЗАН был выплатить за период, когда ребёнок нуждался в содержании - он по-прежнему обязан выплатить.
Если рассуждать по-иному, то по аналогии работодатель может не выплачивать уволившемуся работнику заработную плату до того момента, как то устроится на другую работу - а затем он уже не обязан их выплачивать: "работник же имеет другой доход? Так зачем ему теперь мои деньги! " :)

разумеется. Будет платить, пока все не выплатит

Только не забывайте про сроки исковой давности.

Да, долг остается.

Да, остается. Взыскать его может сам ребенок, так как алименты выплачиваются ЕМУ.

если ребёнок учится в институте то есть шанс продолжать выкачивать деньги, если нет то теперь долг лежит на ребёнке, в случае если отец потеряет трудоспособность, отпрыск получавщий от него алименты будет обязан ему помогать

Если долг установлен, он остается долгом. Устанавливайте в суде!

Да остается . Это, если по простому та часть денежных средств (1/2) которую супруг, с кем живет ребенок потратил на его содержание, поэтому получателем алиментов является один из родителей с которым проживал (ет) ребенок. Как бы возмещение 1/2 части понесенных им расходов.

Долг остается, сумма долга расчитывается судебными приставами-исполнителями. Если алименщик считается лостным неплательщиком, то его можно привлеч к уголовной ответственности