Завершение выплаты алиментов по достижении совершеннолетия

Да, берите расписку - предъявите ее в суде в случае чего.
Проследите, чтобы расписка была составлена максимально подробно и правильно, а именно:
1)Исправления в расписке не допускаются. Если необходимо внести правку (грамматическая ошибка, например) - переписываем расписку заново.
2)Обязательно число (дата) , подпись, полное ФИО составителя расписки.
3)Чем больше информации - тем лучше. Не ограничивайтесь "Претензий не имею", опишите все подробно, а именно:
"Х числа Ч года суд вынес решение о взыскании алиментов с моего бывшего супруга ФИО на содержание нашей общей дочери ФИО, Был получен исполнительный лист. В 2000 году лист был утерян и между нами была заключена устная договоренность и выплате алиментов. Мой бывший муж ФИО ежемесячно перечислял алименты на содержание дочери вплоть до Х числа 2014 года, задолженности по алиментам на момент совершеннолетия дочери Х числа 2014 года не имеет.
Я, ФИО, претензий по выплате алиментов к ФИО не имею.
Дата, подпись"

А вот зря бумажек не брал! Хоть теперь возьми. И обязательно с указанием того, что ежемесячно платил достаточную сумму денег

Да, возьмите с нее расписку о том, что ежемесячно выплачивали алименты до исполнения ребенком 18 лет добровольно без исполнительного листа, который был утерян. Также в расписке пусть укажет, что никакой задолженности по алиментам нет, претензий не имеет.