С какого момента (дня, года) буду взыскивать алименты?

Если ранее она действительно писала заявление о прекращении исполнительного производства (а не обманула вас, просто спрятав ИЛ) - то на алименты ей придется подавать заново и они будут назначены с 2014 года.

При этом ваша жена может заявить, что вы все это время ей не платили и она требует алименты за прошедший период - за прошедшие 3 года.
Чтобы за прошедший период алименты не взыскали, вам ОБЯЗАТЕЛЬНО нужно явится в суд и в суде отстаивать свои интересы, приведя доказательства того. что все это время (с 2010 года) вы с женой жили вместе, вели совместное хозяйство и вместе содержали детей.

На самом деле, доказать это будет несложно - достаточно свидетельских показаний (что жили вместе) и/или несколько чеков на покупку детских вещей/игрушек, квитанции об оплате коммунальных услуг за квартиру, в которой вы жили.

Алименты взыскиваются со дня обращения в суд. В исключительных случаях они могут быть взысканы и за предшествующий период, но не более, чем за 3 года

Если она написала, что не нуждается в алиментах, то начислят с того момента, как она снова подаст.

Моему мужу приостанавливали выплату алиментов по суду, но потом пришлось все равно все выплачивать за все время.

С момента подачи заявления в суд о взыскании алиментов п. 2 ст. 107 Статья 107. Сроки обращения за алиментами1. Лицо, имеющее право на получение алиментов, вправе обратиться в суд с заявлением о взыскании алиментов независимо от срока, истекшего с момента возникновения права на алименты, если алименты не выплачивались ранее по соглашению об уплате алиментов.
2. Алименты присуждаются с момента обращения в суд.
Алименты за прошедший период могут быть взысканы в пределах трехлетнего срока с момента обращения в суд, если судом установлено, что до обращения в суд принимались меры к получению средств на содержание, но алименты не были получены вследствие уклонения лица, обязанного уплачивать алименты, от их уплаты.

Если докажете, что содержали детей в тот период, то не придется. Нужны будут чеки на покупку игрушек, одежды или продуктов питания. Подойдут и квитанции за квартплату. В общем, какие-то доказательства. Суд будет на ее стороне, ибо в гражданских делах презумпция виновности по ч. 2 ст. 401 ГК РФ.