подскажите пожалуйста ребенок

Увезти кроме заграницы может, на алименты подать тоже.

В любом случае может.

Подать на алименты имеет право в любом случае. Даже если вы не признаете ребенка. Сначала будет иск об установлении отцовства, а уж потом все остальное. Жить ребенок явно будет с мамой по ее месту жительства. А она вольна жить, где пожелает.

Если ты признаешь ребенка сам, то будешь записан как отец в свидетельство о рождении, а соответственно на тебя распространяются все обязательства и права в части данного ребенка СК РФ Глава 12. Права и обязанности родителей
Одними словами:
1. подать на алименты - может
2. ты можешь поставить запрет на выезд ребенка за пределы РФ
3. не признаешь ребенка сам, она может это сделать в судебном порядке

Не делайте глупость. Поговорите с женщиной, убедите её, что будете помогать с ребёнком. Но свои данные для отцовства не давайте, пусть эта девушка помучается после своих дум.

Вам как бы надо мозг избавить от заблуждений:
"если я дам фамилию" = в загсе напишете заявление об признании отцовства + заявление матери.
"может ли она увезти спрятать" = запросто.
"может ли она подать на алименты на меня? = естественно.
" просто сказала сделает такое что пожалею" = в туалете утопит, в говне = срок дадут 1 год и 7 месяцев УСЛОВНО.
" право на ребенка я имею так же как и она" = теоретический Да, в реальности твоих прав 0,5.
"через суд могу я ее заставить что бы она давала видеться мне с ребенком," = ДА, и этим Решением Суда она вытрет зад без всяких для себя последствий.
"и на кого она подаст на алименты если не зафиксировано что я отец?" = на тебя, не пойдёшь на Суд = признают автоматом.
"я заберу и все ребенка" = для этого не нужно чьЁ либо решение/разрешение кроме твоего - читай отком. ру - отцовский сайт.

Что бы ты ни делал, может затребовать платить алименты.

Может