Правду ли говорит мой отец?

Неправду.
Родительских прав может лишить только Суд, их невозможно передать, подарить, уступить, как и родительские обязанности и опеки по заявлению/завещанию в РФ тоже нет.
"Доверенность на право представления ИНТЕРЕСОВ несовершеннолетнего" - он где увидел права, обязанности?
Есть конкретный интерес мальчика из небольшого посёлка на севере Коми/Ханты/Якуты/Мурманы учиться в 10 классе хорошей школы в крупном городе, тем более есть родная бабушка - которой родители выдали нотариально заверенную доверку, а бывает нет ни кого родных - а дети с северов учатся - как? - доверка выписывается на любого взрослого согласного присмотреть и помочь.
Доверка нужна во всех гос. структурах и органах - полиции/больнице/гостинице до 16 лет/школе/поликлинике хоть в гос. хоть в платной иначе по любому чиху папе придётся летать как "вжик".

Для того чтобы вы с бабушкой жили ей не нужны права на вас.

Бабушке нужно оформить временное попечительство.

Да, правда.

Не нужна доверенность для проживания с бабушкой не пересекая границы страны

Жить с бабушкой можно и с простого устного согласия, но вот в случае чего: болезни, ЧП или любой неожиданности представлять вас и ваши интересы бабушка не сможет

Для того чтоб ты жила у бабушки никакая доверенность не нужна.

Если бабушка живёт в вашей стране доверенность не нужна только, если бабушка захочет вывести тебя за границу только в этом случае нужна доверенность