Фамилия Ставер у бабушки - еврейская?

Вполне может быть. Это девичья?

Фамилия Ставер имеет богатейшую историю, которая является ярким свидетельством взаимодействия различных национальных культур.

Существует несколько предположений относительно происхождения фамильного имени Ставер.

Возможно, родовое имя Ставер относится к интереснейшей группе фамилий, произошедших от «мирских» имён. Наличие второго имени было своеобразной данью древней славянской традиции двуимённости, требовавшей сокрытия основного, главного имени с целью уберечься от «злых сил», которые не должны были узнать истинного именования человека. Нецерковные прозвания нередко полностью подменяли собой имена крестильные не только в повседневном общении, но и в официальных документах.

Основой фамилии Ставер, очевидно, послужило славянское мирское имя Ставер, означающее «стойкий, твёрдый в вере». Подобным именем родители наделяли ребенка, желая ему в будущем никогда не отрекаться от своих убеждений и оставаться верным себе. Видимо, имя Ставер должно было стать для юного наследника символом счастливой судьбы и знаком великого предназначения.

Определить национальность по фамилии невозможно. Запись о национальности должна быть у бабушки в свидетельстве о рождении .Раньше такую отметку и в паспорте делали.. Запрашивайте архив, если никаких больше документов нет. и у родственников тоже...
Да и фамилия у нее могла быть мужа., если в браке была. Есть еще родственники по линии бабушки, узнавайте у них тоже. Может какие-то документы сохранились. Она являлась матерью вашей мамы или отца? Если да, то проблем у вас не будет.

Есть еще версии фамилии. Скорее всего, фамилия Ставер имеет западноевропейское происхождение. Возможно, она образована от немецкого слова Stauer – «портовый грузчик». Согласно другой версии, в основе этой фамилии лежит английское слово stave – «палка, посох, шест». Соответственно, прозвище Ставер мог получить хромой человек, либо странник. Нельзя исключить связи фамилии и с польским словом staw – «пруд» и глаголом stawic – «поставить».