как быстро пройти процедуру развода если есть несовершеннолетний ребёнок?

Вы можете составить соглашение у нотариуса о добровольном разделе имущества и определении места жительства ребенка. И отнести его в загс вместе с заявлением. Через месяц вы свободны.

Только через суд!

Доказать, что муж уже живет другой семьей

не можете только через суд т. к. имеется несовершеннолетний ребенок

Только суд. Мировой по месту жительства. Ускорить можно если одна из сторон вместе с исковым заявлением приложит ходатайство с просьбой рассмотреть в его отсутствие. Пусть эта сторона прямо напишет в ходатайстве что против развода не возражает и оставляет решение вопроса о месте жительства ребенка на усмотрение суда.

Суд сейчас не интересуют причины развода и никто никого не мирит. Весь вопрос нет ли разногласий по определению места жительства ребенка (с одним из родителей) . Даже совместное имущество не повод отказывать в разводе, его можно поделить отдельными исками потом.

То есть ускорить помочь суду сделать его работу, как написано в первом абзаце.

развод только через суд, при наличии несовершеннолетнего ребенка, Если нет спора об определении места жительства ребенка и о разделе имущества, то без проблем и быстро у мирового судьи, ну а в случае спора это долгая песня будет...

Слишком быстро не получится. нужно обратиться к мировому судье по месту жительства ответчика. первое судебное заседание только через месяц. Если обе стороны согласнына развод, то очень хорошо - разведут, если нет, то могут дать срок для примирения от 1 до 3 месяцев. После истечения этого срока, если одна из сторон настаивает на разводе, разведут. Все на усмотрение суда, смотря как будете доказывать, что сохранение семьи невозможно.