Существует ли закон о выплате подъёмных молодым специалистам? Какой закон? В каком размере?

На сегодняшний день федеральным законодательством льготы молодым специалистам не предусмотрены.
Как правило, льготы для молодых специалистов предусмотрены нормативными актами регионального уровня, - специальными законами субъектов РФ, нормативно-правовыми актами муниципальных образований и т. д. В том числе и подъёмные.
На федеральном законодательном уровне не установлен единый подход к мерам социальной поддержки молодых специалистов. Между тем, в субъектах РФ, такие подходы устанавливаются.
Также имеет значение в какой сфере деятельности вы молодой специалист. Посмотрите, например, Постановление Правительства РФ от 3 декабря 2002 г. N 858 "О федеральной целевой программе "Социальное развитие села до 2012 года" (с изменениями от 29 апреля 2005 г. , 3 апреля 2006 г. , 17 сентября 2007 г. , 5 марта, 2 июня, 7 ноября 2008 г. , 31 января 2009 г.) . Или ещё. Раздел VII "Гарантии социально-экономических и трудовых прав молодых специалистов и учащейся молодежи" в Отраслевом соглашении по федеральным государственным учреждениям, находящимся в ведении Министерства здравоохранения и социального развития Российской Федерации на 2010 - 2012 годы" (утв. Минздравсоцразвития РФ 14.12.2009, Профсоюзом работников здравоохранения РФ 15.12.2009). Срок действия документа ограничен 31 декабря 2012 года.
В этих нормативных актах много всевозможных социальных льгот для молодых специалистов, между тем, статус молодого специалиста определяется для целей данных нормативных актов.

Не исключаю, что и организации или предприятия, организованные на негосударственной или на немуниципальной (например, частной, общественной и пр. ) собственности, тоже предоставляют молодым специалистам социальные льготы, но это действительно должно быть зафиксировано в локальных актах организации или предприятия. И статус «молодой специалист» (кто им считается ) непосредственно должен быть закреплён в локальных актах.
Однако, если верить типовому положению о статусе «молодой специалист» , точное определение термина все же существует. Другой вопрос, что его никто не выполняет, и нет мер принуждения, как и нет за это ответственности на законодательном уровне.
Всё. Большего поведать не могу. Топайте в свою мерию, там вас должны просветить.

Если только в кол/договоре предприятия

Сейчас и молодых специалистов -то нет. Просто работники без опыта и стажа.