Как поступили бы, чтоб вытащить вот эти гвозди с мебели? Чтоб шляпка осталась целой. +++фото

Гвоздодёр.
Есть разные размеры, нужно только искать.
Правда, потом гвоздики заколебёшься выпрямлять.

21 век на дворе. Интернет-магазины? Нет, не слышал...
leroymerlin.ru/product/gvozd-mebelnyy-patinirovannyy-13893995/

Да, «Беда, коль пироги начнет печи сапожник, а сапоги тачать пирожник.» - отдайте реставратору, сделает как новое. Постарается, во всяком случае ;)

Старые обивочные гвозди "закисли", просто так их вынуть будет непросто - ткань за годы "прилипла" к шляпке, поэтому, если важно сохранить и то и другое, понадобится специализированный инструмент - клещи с ногой-упором
https://www.youtube.com/watch?v=kNSa1H-Cz4s
Кстати, потом попасть обратно в отверстия будет сложно. А если и попадёте, то плохо будет гвоздь держаться. Залейте клей в следы от гвоздей. Можно зубочистку/спичку/щепку забить..

Теперь это "простым" столярам не нужно - "старьё" выкидывают, имитацию ставят. Так быстрее. А если необходимо аккуратно вынуть, используют диагональные клещи

"С" мебели гвозди запрещено вытаскивать

мебельные гвозди везде продают. А так, отвертка под ткань.

предоставил бы это мастеру по ремонту мебели

Это нереально.

Взял-бы пруток, разогрел, расклепал, сделал-бы лапку. Потом закалил и вперед!

В тонком шпателе можно сделать прорезь. Получится гибкий гвоздодерчик. Сами гвоздики сидят не глубоко.

Продаётся много аналогичных гвоздей, разного цвета, размера, и с разным дизайном шляпок.
Кроме этого продаётся лента эмитация обивки гвоздями.
Вытаскиваю я такие гвозди с помощью гвоздодера и клещей. Работать нужно очень окуратно чтобы не повредить обивку и корпус.
Я мастер по ремонту мебели и это мой хлеб.

Из шпателя приспособу можно сделать.

Нужно одним двумя гвоздями пожертвовать, зацепится за ткань и она будет вам и гвоздодером и плоскогубцами.

очень аккуратно плоскогубцами маленькими той стороной которую можно загнать под шляпку но сначала кусачки загоняете под шляпку и без нажима раскачиваете на вытягивание а потом плоскогубцами маленькими тонкими. кусачки тоже маленькие технику думаете поймете.
плоскогубцы те что с бокорезами

Это очень проблематично так как, любые действия которые направленные на вытаскивания, могут повредить шляпкам. Но рекомендую в ближайшем мебельном салоне сходить и прикупить такие дизайнерские гвозди. Рекомендую Белорусская мебель «Пинскдрев» в Екатеринбурге

Это обивочные гвозди, может в магазинах ещё и залежались. Я лично вынимал их бокорезами, но из сосны - бук он твёрже. Сейчас ткань натягивают при помощи степлера. Такая обивка была в моде в конце 70-х и до начала 90-х. По своему опыту скажу что вы не сможете вынуть все гвозди из твёрдой древесины в идеальном состоянии, так что ищите альтернативу, ну к примеру тот же блестящий шнур пойдёт под степлер...