можно ли картошку посадить в ящиках на балконе, какой глубины там корни?

сантиметров 40

нет

Корни в картошке в глубь не растут. Растут в боровок так сказать. Для этого и окучивают картофель. Так что получится легко.

Пока не попробуете сами - точно не узнаете. В любом случае, что вы теряете? Абсолютно ничего. Экспериментируйте, осенью нам расскажете.

Можно... в мешках... по такой технологии выращивают и огурцы и помидоры... см. инет

В малых ёмкостях вырастит "горох" - экспериментировал с вёдрами в прошлом году - и трубки прокладывал для аэрации, и полив применял прикорневой, и состав почвы по всем правилам, но урожай - на букву "Х". Да, ботва была класс! :-)

лучше в мешки из под сахара или муки и слоями садить.

Ужас, зачем засорять балкон. А, как жена на это смотрит?

Сажала в том году в 50 литровую бочку и ещё в одну тару чуть поменьше. Просто забавлялась, тара лишняя была, место есть. На 1/3 где то землей заполнила, по мере подрастания ботвы земли подсыпала, поливала. Итог как и у Александра, ботва шикарная, и кучка "горошка". И что не так, не знаю, ведь многие пишут, что чуть ли не по 2 ведра собирают отменного картофеля с одного мешка (ну это кто в мешки сажает). Будет тара свободная, поразвлекаюсь, пожалуй, ещё раз, но положительный отзыв от такого способа пока не могу оставить.
А вот огурцы в бочке, правда большой, растут отлично.

в мешках даже сажают

Ну зачем жизнь себе усложняете??? Если так хочется - посадите, только потом не говорите, что у вас ничего хорошего не выросло. Это же сколько мешков надо, чтобы впрок сохранить её??