Если дерево растёт близко к фундаменту дома, после его спилки под корень может ли дом просесть?

Да вряд ли просядет, ведь корень растёт локально, не под всем фундаментом. Но то, что корни могут разрушать фундамент - это факт.

Нет

Еще и как может! Мы купили дом, ранее на этом месте был старая полу разваленная хатка, прежние хозяева вокруг хатки построили большой дом, и деревья, которые росли на большем расстоянии от хатки - оказались за 40 см от фундамента нового дома. Деревья были не помню какие, но старые, и в диаметре наверное больше метра, как то в голову тогда не пришло померить - не до того было. Деревьев было два, на одном углу и на втором.
Спилили мы их, пень остался ну может см10. Через лет 8 он развалился. Прошло на сегодняшний день 26 лет. Сверху фундамент мощный, каменный, что там под ним - не знаю, строили не мы. Но последствия - и на одном углу, и на втором - фундамент дал трещины, трещина появилась и на франтоне ((, в самом доме на внутренней стене появилась трещина от пола до потолка. ((
Так что спиливайте, надеюсь там корни не очень еще большие, и ничего плохого со временем не произойдет.

Это зависит от фундамента. Но нормальный фундамент не должен просесть от таких небольших пустот. Проблем от самого корня такого старого дерева для фундамента гораздо больше. Спиливать желательно раньше