Возможно ли вырастить?

Не реально, но возможно. Во первых нет сортов которые вьются (те что рекламируют это полный лохотрон (поверь агроному по образованию и селекционеру со стажем)), во вторых Вы потратите на уход столько времени и сил и получите настолько малый урожай что больше Вам этим заниматься не захочется ( на лоджии Вы сможете выращивать ну около 10 кустов с них за сезон соберёте максимум 1,5-2кг, а на одни подкормки Вы истратите больше денег чем стоит эта клубника). Для нормального развития одного куста клубники надо примерно около 7-8кг. специализированного грунта (на 10 кустов выходит уже где то кг. 80,а это по нынешним ценам около 1.5тыс.). Ну а если Вас не пугает что на 2 кг клубники Вы потратите около 3,5-4тыс. руб. (рассада, подкормки, дренаж, грунт, лотки или горшки) не считая сколько своих сил потратите, то можете попробовать. Для посадки на лоджии подойдёт практически любой сорт.

Вьющиеся растения - это те, которые своими стеблями обвивабт опору, или цепляются за нее специальными шипами и таким образом могут подняться по опоре вверх к солнцу.
Вьющейся клубники или земляники не бывает. На самом деле то, что выдают за вьющуюся клубнику, растение, обладающее повышенным усообразованием. Оно активно выбрасывает усы, на которых образуются новые розетки, которые могут зацвести и даже дать плоды. Подняться по опоре земляника не может, ее приходится направлять. . Реально эти розетки должны укорениться, если розетки остаются без грунта, то растение быстро истощается и стареет.
Если Вы хотите все-таки попробовать, то хорошо было бы соорудить на балконе такую стойку для растения, где можно было бы поставить несколько горшочков на разной высоте. Усы придется направлять самой либо вверх, либо вниз (как ампельное) . По мере роста появившиеся розетки укоренять в новых горшочках (если не все, то хотя бы некоторые из них) .
И еще - есть сорта земляники, которые цветут не белыми, а розовыми цветами - очень красиво и необычно (у меня так цветет сорт "Лизонька", но она не "вьющаяся", а обыкновенная) . На лето, если есть возможность, желательно клубнику или землянику высадить в открытый грунт, она окрепнет, разрастется, а в августе или в сентябре кустики выкопать и пересадить в горшочки, тогда она Вас будет радовать всю зиму. Удачи Вам!

Сади, потом хоть напишешь варенье вкусное или нет сварила.

просто поливай и удобряй

Можно. А вот нужно ли? Сомневаюсь.. .
Вьющаяся клубника.. . Анекдот

Одно точно скажу, реклама в журналах и газетах типичный лохотрон, а фото там такой грубый фотошоп, что видно даже не вооруженным глазом. Не мучайтесь и не тратьте денежку и время. Цветы благодарней.

клубнику или землянику вырастить набалконе можно, но сложно.
Миф о вьющейся - это простой рекламный трюк, не верьте этому

ужас