Как положение солнца в момент рождения связано с принадлежностью к знаку зодиака?

это народное название.
солнце в близнецах - близнецы, солнце в стрельце - стрелец

Путь Солнца (эклептика) разделен на 12 равных частей по 30 градусов. Эти сектора и названы знаками Зодиака. Отсчет начинается от весеннего равноденствия: с 21 марта. Когда Солнце проходит сектор эклептики с 21 марта по 20 апреля - оно проходит по знаку Зодиака - Овен и все, кто родился в тот период, приобретают качества Овна и так далее...

Знаки зодиака - понятие символическое. Их считают от весеннего равноденствия, а не по реальному положению Солнца. Этим западная астрология принимает главным противостояние света и тьмы (их равенство и борьбу). Странно слышать, например, что альфа Льва находится в Деве - так не бывает! Но если Лев - реальное созвездие, а Дева - символическое - то бывает, запросто. Разница на сегодняшний день порядка 24 градусов и она учитывается в Джйотиш, они работают с реальным положением планет.
Это легко понять, если вспомнить разницу, например, между календарной и реальной зимой. Выпал снег в октябре, мороз -10 градусов - это реальная зима. А первого декабря - календарная.
В Вашем примере про Васю все не так. Один говорит, что Вася брюнет, другой - что Вася хороший человек. При этом оба правы, несмотря на то, что Вася цыган. Вы смешиваете две разных системы, к тому же не хотите слышать объяснений.

В каком знаке Солнце - тот и "знак Зодиака"

Знак Зодиака - это одно, и он определяется Солнцем. Но точным знаком, лучше всего описывающим человека является синтез знак, находящийся путем подсчёта.
Он не является единственно истинным, и не ослабляет качеств Основного знака Зодиака, но описывает совокупность черт личности намного лучше)