Договор дарения между близкими родственниками, прописан посторонний человек! Подскажите очередность действий.

Если договор истек - регистрация автоматически закончилась.
Если он шибко грамотный : там возможна пролонгация, если не расторгнуть - читайте договор.
При смене собственника - договор новый владелец не заключал - всех на выход.
Короче, без разницы - но поскольку брат не заморачивается, лучше получить подарок и самой разбираться.
Без нотариуса! В простой письменной форме договор дарения в росреестр

гл. 36 ГК РФ читайте, ею регулир. отношения безвозмездного пользования.
Кроме того, в соотв. с ч. 2 ст. 689:
К договору безвозмездного пользования соответственно применяются правила, предусмотренные статьей 607, пунктом 1 и абзацем первым пункта 2 статьи 610, пунктами 1 и 3 статьи 615, пунктом 2 статьи 621, пунктами 1 и 3 статьи 623 настоящего Кодекса.
А тут ч. 2 ст. 621: Если арендатор продолжает пользоваться имуществом после истечения срока договора при отсутствии возражений со стороны арендодателя, договор считается возобновленным на тех же условиях на неопределенный срок (статья 610).
Значит если срок действия договора истек и пользуется чел- проживает и не освободил квартиру. и брат не возражал. то продлен этот договор на неопредел. срок.
Тогда этот договор безвозм. пользов. уже бессрочный стал.
И тут см. ч. 1 ст. 699:
Каждая из сторон вправе во всякое время отказаться от договора безвозмездного пользования, заключенного без указания срока, известив об этом другую сторону за один месяц, если договором не предусмотрен иной срок извещения.
Значит заяц- хозяин лубяной избушки (брат) письменно извещает лису в соотв. с требов. ч. 1. ст. 699.
Лично вручить и чтоб расписалась лиса на втор. экз. , кот. остается у зайца. Можно послать по почте с описанием вложения и уведомлением о вручении.
Лиса может подыскать др. жилье и обязана освободить занимаемой со снятем с регучета. Не освобождает- выселять решением суда.
---------------------
Вообще мне непонятно про "прописку", раз договор был срочный, то и регистрация должна была на срок действия договора- по месту пребывания- временная, и истечь соответственно тоже в июле.
И непонятно, чел отказывается выселяться и освобождать квартиру. или речь только о регистрации.
-----------
надо просто с договором безвозм. пользования и пр. доками- к юристу на консультацию- очно.
------------
Подарить брат сестре может- по дог. дарения.
Зарегят переход права собственности на сестру.
И сестра потом как новый собственник будет заниматься этим вопросом,
в соотв. с ч. 1 ст. 700: Ссудодатель вправе произвести отчуждение вещи или передать ее в возмездное пользование третьему лицу. При этом к новому собственнику или пользователю переходят права по ранее заключенному договору безвозмездного пользования, а его права в отношении вещи обременяются правами ссудополучателя.
Там по любому оформить изменение сторон в договоре нужно будет и разрешать вопрос с этим договором.

Пусть брат на вашу супругу договор дарения делает и в росреестр,переход права -собственности ваша жена получает свидетельство о праве собственности,и сразу в суд,этого товарища она не знает, договоров с ним не заключала, суд в два счета примет решение в пользу нового собственника...ВСЕ...