помогите решить задачку по математике

Возьмём несколько пифагоровых троек. Я для примера возьму три: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25). Важно, чтобы эти тройки не получались друг из друга умножением на одно и то же число. Например, тройки (3, 4, 5) и (6, 8, 10) не подходят.

Для простоты буду писать только два старших члена троек: (4, 5), (12,13), (24, 25).

Очевидно, что если мы возьмём два любых целых числа, отношение которых равно 5/4 или 13/12 или 25/24, то эти два числа обязательно будут двумя старшими элементами пифагоровой тройки.

Таким образом, если мы возьмём ряд из четырёх чисел

х, 24х/25, 12х/13, 4х/5

и все числа в этом ряду будут целыми, то число х с любым другим членом этого ряда будут старшими членами пифагоровой тройки, и таким образом число x² будет представимо в виде суммы квадратов тремя разными способами. Построить такой ряд легко, достаточно привести все дроби к общему знаменателю и сделать х равным этому общему знаменателю.

В нашем примере x = 13·25 = 325. Члены ряда получаются

325, 312, 300, 260

Легко проверить, что

325² = 312² + 91² = 300² + 125² = 260² + 195²

Теперь обратимся к случаю N=2009. Проблема, естественно, состоит в том, чтобы найти 2009 пифагоровых троек, не являющихся производными друг друга.

К счастью, это не проблема. Любые три числа

2n+1
2n(n+1)
2n(n+1) + 1

явлюятся именно такой тройкой. Для n = 1…2009 мы легко получим 2009 таких пифагоровых троек.

Кого интересует глубокий смысл последнего алгоритма получения пифагоровых троек, спросите у меня.

:~)

Это вопрос о "пифагоровых тройках" натуральных чисел.
Возьмем одну такую тройку: 5^2=3^2+4^2.

Домножим на N^2, получим новую пифагорову тройку:

(5N)^2=(3N)^2+(4N)^2.

Так что искомых троек целых чисел бесконечно много, а не только 2009.

Поправка: Прочитал условие внимательно и понял, что ответил не на тот вопрос! Сожалею. Тем не менее, советую посмотреть в Гугл "пифагоровы числа", это как раз по сути вопроса.

Понятно, что ЛЮБОЕ число можно представить в виде суммы квадратов ЛЮБЫХ чисел (не только натруальных) бесконечным числом способов. Теперь, предположим, что число, искомое в задаче, существует и равно А.
Тогда по условию А = N^2
Далее, пусть N^2 = B^2 + C^2 - это например первый способ представления в виде суммы квадратов. Попробуем теперь указать алгоритм, как построить остальные способы и каким св-вам должно удовлетв. N, а заодно и А.
N^2 = (B-n)^2 + (C+k)^2 - не теряя в строгости будем предполагать, что каждая последующая пара чисел получается уменьшением В и увеличением С.
Тогда имеем: N^2 = B^2 - 2nB + n^2 + C^2 + 2Ck + k^2
Из свойства N следует:
k^2 + 2Ck + n^2 - 2Bn = 0
k(k+2C) + n(n-2B) = 0
При этом понятно, что: n

Да по-моему тут всё просто.
Любая пифагорова тройка чисел имеет вид:
k^2 + ((k^2 - 1)/2)^2 = ((k^2 + 1)/2)^2, так?
Тогда если искомое число имеет вид N^2, то
((k^2 + 1)/2)^2 = N^2, откуда k определяется однозначно.
Или я где-то маху дал?