Ливию- страну назвали в честь Ливии- прабабки Калигулы и первой императрицы Рима?

Нет, это скорее родовое имя Ливии Друзиллы в честь древнего этнонима Ливия.
В Риме - Ливии (Livii) - римская плебейская фамилия: имела 4 cognomina: Denter, Drusus, Libo и Salinator.
К одному из них и относилась Ливия Друзилла - жена Октавиана Августа, мать императора Тиберия, прабабка императора Калигулы, бабка императора Клавдия, и прапрабабка императора Нерона.
В Риме женщины не имели собственных имен - именем собственным им служило родовое имя.
Например, если бы у Юлия Цезаря было много дочерей, они все бы именовались Юлиями.
А все женщины из рода Октавиев имели имя Октавия. и т. д.

Ливия (древняя) — в широком смысле: у античных авторов название части света Африка, в более узком: область в Северной Африке, границы которой менялись в разные периоды истории у различных народов.

Топоним «Ливия» производился древними от имени населявших страну племён — ливийцев, название которым вероятно дали египтяне.
В период Древнего Царства (около 2700—2200 гг. до н. э. ) встречаются надписи с именем одного из западных кочевых племён — «ребу» или «либу» (егип. rbw, rb, rbj).
В какой-то период это племя выделилось среди других кочевников и по его наименованию египтяне стали называть все народы к западу от долины Нила — «ливийцы» .

Первое упоминание о Ливии встрчается у древних Египтян. Все, что находилось западней Нила, т. е. в Сахаре у египтян ассоцировалось с потусторонним миром. Казалось, что в раскаленных песках никто жить не может, но кочевники-ливийцы время от времени появлялись, вызывая у египтян полумистическое уважение.

Позже греки и римляне стали употреблять этот топомоним для обозначения территории западней Нила до ганиц Карфагена (современный Тунис) .