За какое право боролись германскии императоры и папы римскии?

За право инвеституры.
Инвеститура - в Западной Европе в средние века юридический акт передачи лена, должности, сана, закреплявший вассальную зависимость и сопровождавшийся символическим обрядом: передачей сеньором вассалу горсти земли, перчатки, меча, копья, знамени, скипетра и т. п. символов власти.
Церковная инвеститура состояла в назначении на церковную должность и введении в сан; она сопровождалась двумя актами: вручением посоха и кольца, символизировавших духовную власть, и передачей земельного владения и скипетра - символа светской власти.
Папство, усилившееся во 2-й половине 11 в. пыталось запретить светскую инвеституру епископов и аббатов. Инвеститура прелатов, не располагавших наследственными правами, давала возможность императорской власти пользоваться доходами от церковной собственности и использовать епископов и аббатов в качестве противовеса светской знати.
В борьбе за инвеституру выступали с одной стороны приверженцы церковной Клюнийской реформы во главе с Гильдебрандом (с 1073 г. - папа Григорий VII) и с другой - сторонники сохранения светской инвеституры во главе с императором Генрихом IV. Открытая борьба папства с императорской властью началась в 1075 г. , после вступления на папский престол Григория VII.
Собор 1075 г. объявил инвеституру духовенства светскими лицами недействительной. В ожесточённой и длительной борьбе, критическим эпизодом которой была Каносса (1077 г.) , ни той, ни другой стороне не удавалось одержать победу.
В 1122 г. был заключён Вормсский конкордат, окончивший борьбу за инвеституру.
Избранные капитулами прелаты получали духовную инвеституру от папы, а светскую - от императора.

за право назначать королей :)

смотря какой век, ? одни растреливали другие сжигали, борь за лихорадку власти