Тонкий обруч радиуса R раскрутили вокруг его оси до угловой скорости ω и положили плашмя на горизонтальную поверхность.

Когда обруч набирает угловую скорость ω, его кинетическая энергия вращательного движения становится равной I*ω^2 / 2. где I - момент инерции обруча. В случае тонкого обруча радиуса R он равен mR^2, где m - масса обруча. Поэтому энергия вращения обруча равна mR^2*ω^2 / 2.

Эта энергия гасится трением, при этом сила трения совершает работу, равную Fтр*S, где S - путь, пройденной любой точкой обруча, равный Rф, где ф - угол поворота обруча. Сила трения равна Fтр = k*N, где N - сила реакции опоры, равная по величине силе тяжести m*g, g - ускорение свободного падения. Поэтому работа силы трения при остановке обруча равна k*m*g*R*ф.

Работа силы трения равна разности начальной энергии вращательного движения обруча и конечной (равной нулю, поскольку обруч остановился). Поэтому

mR^2*ω^2 / 2 = k*m*g*R*ф.

Сокращая на mR получаем

Rω^2 / 2 = kgф.

Отсюда угол поворота ф равен Rω^2 / 2kg.

Найдя угол поворота можно найти время вращения до полной остановки из следующих формул:

ω = Et, E - угловое ускорение.

ф = ωt - Et^2 / 2. Знак минус перед вторым слагаемым означает, что обруч не ускоряется, а тормозится.

Отсюда ф = ωt - ωt/2 = ωt/2, t = 2ф / ω. Это и есть время торможения обруча. Угол поворота ф уже найден. Подставляя его по формуле, получим t = Rω / kg.

А чтобы найти число оборотов, нужно угол поворота разделить на 2*пи, n = ф / 2*пи. Если интересует целое число оборотов, нужно от величины n взять целую часть.