У меня всегда были непонятки с английскими артиклями. В частности с a/an и нулевым артиклем.

Самое главное правило гласит: перед существительным должен стоять только один артикль – двум одновременно там точно не место. Есть два артикля: определенный и неопределенный
Начнем с правил использования неопределенного артикля в английском. А и An образовались от слова one (один). Это значит, что они не могут сопровождать существительные во множественном числе, а также те, которые нельзя посчитать. Употребляется только с единственным числом, когда нужно классифицировать и охарактеризовать предмет, один из ряда многих, о котором ничего не известно. Если слово начинается с согласной буквы - то мы используем a , а если с гласной - an.
Теперь определенный. The образовалось от английского слова That (тот). Это значит, что его можно использовать только в том случае, когда тот, кто говорит, и тот, кто воспринимает информацию, говорят о чем-то конкретном. Употребляется как с единственным, так и с множественным числом. Употребляется перед предметами, единственными в своем роде, перед предметами, к которым будет добавляться определение. Название организаций, гостиниц, газет, географических наименований (не всех) требует наличия артикля, а также почти все имена собственные.
Артикль The используется для прилагательных, которые стоят в превосходной степени: the most popular (самый популярный), I’m simply the best (Я просто лучшая – как пела в свое время известная певица Тина Тернер).
Исключения:
всегда определенный артикль: museum (музей), theatre (театр), cinema (кинотеатр), park (парк), hotel (отель), airport (аэропорт), station (станция);
всегда без артикля: school (школа), college (колледж), university (университет), hospital (больница), church (церковь), prison (тюрьма) не требуют артикля.

Артикль a/an бывает перед исчисляемыми существительными в единственном числе, а нулевой - перед неисчисляемыми и перед исчисляемыми во множественном числе, вот тебе и разница.
I have a book.
I have books.
I have money.

"Нулевой артикль" - это что, отсутствие артикля что-ли?

Артикль, определенный или неопределенный, вообще ставится перед любым именем по-умолчанию. Он не ставится, когда говорится о предмете во множественном числе, или когда речь идет о несчетном предмете.

An apple, но aplles. Яблоко - счетный предмет. Яблоки - множественное число.
Money - без неопределенного артикля. Деньги - несчетный предмет. Или же, может быть правильней - множественное число.
I have a dollar. I have dollars. Доллар - счетный предмет - с неопределенным артиклем. Доллары - множественное число, без неопределенного артикля.

Кроме того, есть куча "устойчивых выражений", которые надо тупо запоминать.