А вам снится правильный икосаэдр?

..Только В Кошмарах..! ))

Да,но снится неправильно,кстати - что это такое?

Ну да. Я же кристаллограф. Мне ещё не такое снилось, когда художники неподалёку.

Как проверишь, если обману? )

ВЫКОВЫРИВАНИЕ КОЗЯВКИ ИЗ НОСА НЕ ГОВОРИТ О ТОМ ЧТО ЭТО МОЗГИ НЕ ПОМЕСТИВШИСЬ В ГОЛОВЕ ВЫЛЕЗЛИ НАРУЖУ )

Нет:)

Тессеракт тибе ф канпот ни хочишЪ?

o_O

Икосаэдр часто тревожит душу, потому что необходимо
рассказать о нем людям Третьего тысячелетия (икосаэдр -
часть кругозора рядовой души будущих времен). Пора!

Диаметр шара, описанного вокруг икосаэдра, равен сумме высоты
"барабана" и высот двух "шапочек". Если знать этот D, легко будет найти
радиус шара, вписанного в икосаэдр, - и тем самым высоту H любой из
20-ти равных пирамид, образующих благородное Платоново тело.
V = 20 * SH/3 станет венцом наших простых рассуждений.

Высота "шапочки" найдется, если знать радиус окружности,
описанной около ее 5-угольного основания: R(5) = a/2 : cos(3п/10) =
= a/2 : sqrt [{5-sqrt(5)}/8] = a * sqrt [2/{5-sqrt(5)}] = a * sqrt [{5+sqrt(5)}/10] ; тогда
h(шап.) = sqrt [a^2 - R(5)^2] = a * sqrt [1 - {5+sqrt(5)}/10] = a * sqrt [{5-sqrt(5)}/10] .
Высота "барабана" будет найдена, если знать радиус окружности,
вписанной в 5-угольное основание "шапочки"; r(5) = R(5) * sin(3п/10) =
= a * sqrt [{5+sqrt(5)}/10] * sqrt [{3+sqrt(5)}/8] = a * sqrt [{20+8sqrt(5)}/80]
нужен ради R(5) - r(5) = a * sqrt [{10+2sqrt(5)}/20] - a * sqrt [{5+2sqrt(5)}/20] =
= a * sqrt ({15+4sqrt(5)}/20 - 2*sqrt[{7+3sqrt(5)}/40]) =
= a * sqrt ({15+4sqrt(5)}/20 - sqrt [5*{3+sqrt(5)}^2/100]) =
= a * sqrt [{15+4sqrt(5)}/20 - {10+6sqrt(5)}/20] =
= a * sqrt [{5-2sqrt(5)}/20] . В то же время высота грани
h(гр.) = a * cos(п/6) = a*sqrt(3)/2; по теореме Пифагора
h(бар.) = sqrt [h(гр.)^2 - {R(5)-r(5)}^2] = a * sqrt [3/4 - {5-2sqrt(5)}/20] =
= a * sqrt [{10+2sqrt(5)}/20] = a * sqrt [{5+sqrt(5)}/10] ,
она как R(5). После этого D = h(бар.) + 2h(шап.) =
= a * sqrt [{5+sqrt(5)}/10] + a * 2sqrt [{5-sqrt(5)}/10] =
= a * sqrt [{5+sqrt(5)}/10 + {20-4sqrt(5)}/10 + 4sqrt{(5+sqrt(5))*(5-sqrt(5))}/10] =
= a * sqrt [{25-3sqrt(5)}/10 + 8sqrt(5)/10] = a * sqrt [{5+sqrt(5)}/2] .
Из D/2 = a * sqrt [{5+sqrt(5)}/8] легко найдется d/2 = H =
= sqrt [(D/2)^2 - R(гр.)^2] = a * sqrt [{5+sqrt(5)}/8 - 1/3] =
= a * sqrt [{7+3sqrt(5)}/24] = a * sqrt [{14+6sqrt(5)}/48 =
= a * sqrt [{3+sqrt(5)}^2/48] = a/sqrt(3) * {3+sqrt(5)}/4,
такова высота пирамиды; объем ее = 1/3*S(гр.)*H =
= 1/3 * [sqrt(3)/4*a] * [a/sqrt(3) * {3+sqrt(5)}/4] =
= a^3/48 * {3+sqrt(5)} . Объем всего икосаэдра -
20 таких пирамид, т. е. V = 5a^3/12 * {3+sqrt(5)}.
Можно было найти его проще, зато мы смогли
по пути рассчитать все элементы икосаэдра.