В конце ноября мне подарили цветущую бромелию. Сейчас она уже отцветает. Поливала в розетку, опрыскивала теплой водой.

Сохранить гусманию (растение на Вашей картинке называется Гусмания язычковая, Guzmania lingulata) - не проблема. Бромелиевые вполне неприхотливы и сговорчивы. И они способны долго жить в квартире - с учетом преемственности поколений.
Отцветшее соцветие срежьте у его основания. Продолжайте, как обычно, ухаживать за растением. Отцветшая розетка, конечно, отомрет (у бромелиевых каждая розетка цветет только раз) , но это должно произойти не скоро. Она еще несколько месяцев будет торчать в горшке зелененькой, и за это время успеет дать 1-2 детки. Детки начнут развиваться, расти, а мамочка будет их кормить. Вам остается только спокойно ждать и наблюдать.
Когда детки достигают высоты взрослого растения, у них обычно уже есть собственные, неплохо развитые корни. Тогда можно их отделить от материнской розетки и посадить в отдельный горшок. Хорошо подрощенная детка приживается без проблем. Поэтому торопиться с отсаживанием совершенно некуда. А можно и вообще не рассаживать, необходимости в этом нет; многие такого мнения, и я тоже. В природе бромелиевые растут семьями, на общих корнях, это им только на пользу.
Старая розетка отмирает постепенно, по одному листу, их надо будет удалять. В конце концов от нее остается только низко срезанный "пенек" или вообще углубление в земле (я такое видела) . Ко времени ее полного отмирания разворачиваются в ширину розетки-детки, которые сначала развивались свернутыми в узкие конусы. Материнская розетка, отмирая, освобождает для них жизненное пространство.
Я люблю бромелиевые, но держать предпочитаю виды с пестрыми листьями, которые декоративны независимо от цветения (так как нового цветения приходится дожидаться не один год) . У меня есть вриезия ("пламенный меч"), криптантус ("земляная звезда"), неорегелия Каролины. Вриезия и криптантус куплены в 2004-м, неорегелия - летом 2008. Все живы. Криптантус цвел в январе 2009 г. , дал три детки, материнская розетка отмерла только недавно. У неорегелии материнская розетка отмерла спустя год с лишним, сейчас вместо нее две крупных дочерних, я их не рассаживала, только пересадила все семейство в больший горшок. У вриезии первоначальная розетка до сих пор не отмерла! Из нее пошел цветонос во второй раз, через 4 года после первого цветения, затем от корня выросла детка и всего через год зацвела. В общем, бромелиевые надолго становятся членами семьи!
Хочу только предупредить: не увлекайтесь поливом в розетку!
Бромелиевые прекрасно берут воду из почвы, как обычные растения. Правда, почва должна быть очень рыхлая, "дышащая", подсыхающая между поливами, и поливать надо понемногу.
А вот вода, застоявшаяся в розетке, способна вызвать загнивание основания розетки, особенно если температура воздуха умеренная или прохладная. Я встречала совет поливать в розетку только в летнюю жару, а в остальное время года - разве что опрыскивать, и считаю это правильным, сама так делаю. Но об опасности загнивания предупреждают далеко не во всех статьях.. .
Прочтите полезную статью с разумными рекомендациями Гусмания- уход, болезни и трудности (там, кстати, пишут: "Гусмании страдают от грибковых заболеваний, вызванных повышенной влажностью и температурой окружающей среды. Избыток влаги в воронке листьев может вызвать увядание растения, а так же загнивание корневой системы и основания стебля. ")

Полный и правильный ответ дала Юлия Вдовиченко. Мне остаётся, лишь, добавить фото. Я деток не рассаживала, так и растут в четыре розетки. Одна из них расцветает, очень медленно, после августовской "экзекуции" с яблоками. Растению, после отмирания материнского, уже пять лет.

у меня тоже такая была и к сожалению пропала. чтоб я с ней не делала. и у знакомых тоже пропали. даже не знаю что с ними такое.

Это Гусмания, цветет один раз, после чего умирает, может дать деток, детки долго растут, молодая Гусмания не цветет три года.