Лист фиалка не пускает корешки уже где-то 3 неделю, а стебель начинает гнить (стоит в стаканчики с водой), что делать?

Фиалка обычно пускает корни через месяц. Можно этот листик посадить в землю под банку. Примерно через месяц банку снять. К тому времени из листика должна полезть розетка. А вообще листики фиалки - существа капризные, очень часто сгнивают в воде, а иногда в земле после посадки. Поэтому лучше иметь несколько листиков одного и того же вида для подстраховки. Хоть один да выживет.

Видимо, оставили слишком длинный черешок. Корни обычно появляются уже недели через полторы.

Срежьте гниль до здоровой ткани, только лезвием или острым ножом. Подсушите минут 10 и сажайте в землю без корней, примерно на глубину один см. Под углом 45 градусов. Накройте пакетиком или прозрачным стаканом. Периодически проветривайте, убирайте конденсат. Через месяц стакан (пакет) можно снять, у листа уже будут корни и укрытие не нужно. Я так сажаю те листики, которые упорно не хотят укореняться через воду.

Срежьте гниль, поменяйте воду в стаканчике.
http://www.dimetris.ru/news/articles/kak-vyrastit-fialku-iz-lista

Листовые черенки фиалок хорошо укореняются в кипяченой воде в бутылочках темного стекла из-под лекарств (корвалол, валокордин) . Можно укоренять сразу в субстрате: маленький пластиковый стаканчик, проделайте несколько дырочек в дне, землесмесь: готовая для фиалок из магазина + резаный мох сфагнум+ перлит и (или) вермикулит. Листочек садите на глубину 0,5-1см, накрываете чистым пакетиком, который нужно проветривать по мере скопления конденсата.
У меня листовые черенки никогда не загнивают. Листовые черенки сортовых фиалок у селекционеров порой стоят столько же, сколько стоят взрослые цветущие растения, поэтому ни о каком приживется-не приживется не может быть и речи.

Это мой опыт.