Как правильно посадить и укоренить кактус. Срочно!

Напрасно обсыпали углём: после гнили надо следить за цветом среза - уголь эту возможность исключает.
Похвально, что Вы пытаетесь всё сделать по правилам (я об обрезке на конус), однако ваш кактусёнок слишком маленький (без вариантов - маммиллярия, какая именно - сейчас пока не важно...). Поэтому когда втянется мякоть, то внутри появится пустое пространство - это не есть хорошо!, да и площадь для появления корешков ограничится краями "впадины".
Не хочу "бить по рукам", отбивая надежду на удачу.
Делайте всё, что можно:
советую смыть уголь (свою дезинфицирующую пользу он уже принёс),
дальше надо ждать, положив кактус просто на воздухе срезом вбок или наверх - как ляжет - БЕЗ стаканов с водой: он уже загнивал, а потому даже такой вариант присутствия воды может возобновить процесс гниения.
Пока не могу дать положительный прогноз, но надо надеяться на лучшее: вдруг произойдёт чудо именно с вашим "подопечным"!
В любом случае можно извлечь пользу: понять причину = излишний полив, чтобы другим кактусам не пришлось "лечь под нож" ...

Кактус только одни сутки можно сушить срезом вверх, далее нужно как положено, "ногами" вниз. Зимой подсушивают не менее 10 дней. Можно просто на не солнечном окне (полке и т. п.) или сразу на землю в горшке, но только на сухую. После 10 дней начать увлажнять верхний слой земли в горшке. Между поливами земля должна полностью пересыхать. накрывать стаканом или пакетом опасно, кактусы вообще не накрывают, иначе даже здоровые легко загниют.

Под лампой сушил напрасно, при интенсивной сушке корочка может потрескаться. Подсушите ещё дня три просто на воздухе и ставьте на сухой грунт, подперев зубочистками. Ещё через неделю можно понемногу увлажнять грунт.

Да, хорошо, если обрезали часть здоровой ткани (чтобы полностью исключить гниение) и обработали активированным углём.
Срез подсох, далее...
Давно придумала и успешно укореняла суккуленты (кактусы, пахиподиумы) НАД ВОДОЙ:
сооружала конструкцию из широкого стакана, на который надевала две пары канцелярских резинок, чтобы между ними получилась клетка (как в крестики-нолики)) - на дне и сверху, по ободку стакана.
Эти резинки закрепляла скотчем, чтобы не соскальзывали со стакана.
Стакан заполняла водой наполовину и в клетку из резинок помещала кактус, чтобы он опирался на резинки, но не касался воды.
Ваш кактус маленький и лёгкий. Всё получится.
Этим способом не только исключается контакт ранки с землёй и водой, если она даже не совсем заросла, но и достигается питание испаряемой влагой из стакана (Вы же знаете, что кактусам волоски и иголки нужны не только для защиты от животных и сохранения температуры в условиях её резких перепадов днём-ночью в пустыне, кактусы ими улавливают влагу, пьют.)
Всё!
Когда появятся корешки 2-3 мм бугорочками, можно сажать на влажную землю (грунт для кактусов- с большим кол-вом песка и высокой кислотностью), не засыпая тело кактуса землёй. Первый полив через неделю.
Ваш кактус маммилярия- отчётливо видны маммулы-сосочки. Точнее не скажу, так как маммилярии могут быть внешне очень сохожи между собой и виды их определяются во время цветения по форме, размеру, цвету и расположению цветков.

Купить землю "для кактусов", в ней много песка. Поливать не чаще, чем полностью высохнет земля (дней десять не чаще), а то опять загниёт. Первую неделю - накрыть стаканом. И как можно больше прямого солнечного света.