Что такое fi-wi роутер и на каких модемах он работает?

Wi-Fi (МФА: [ˈwaɪ.faɪ]) — торговая марка Wi-Fi Alliance для беспроводных сетей на базе стандарта IEEE 802.11. Термин возник как игра слов с Hi-Fi и никак не расшифровывается (см. ниже) .
Любое оборудование, соответствующее стандарту IEEE 802.11, может быть протестировано в Wi-Fi Alliance и получить соответствующий сертификат и право нанесения логотипа Wi-Fi.
Маршрутиза́тор (проф. жарг. ра́утер, ру́тер (от англ. router /ˈɹu:tə(ɹ)/ или /ˈɹaʊtəɹ/[1], /ˈɹaʊtɚ/) или ро́утер (прочтение слова англ. router как транслитерированного) ) — сетевое устройство, пересылающее пакеты данных между различными сегментами сети и принимающее решения на основании информации о топологии сети и определённых правил, заданных администратором.
Маршрутизаторы делятся на программные и аппаратные. Маршрутизатор работает на более высоком «сетевом» уровне 3 сетевой модели OSI, нежели коммутатор и сетевой мост.
Обычно маршрутизатор использует адрес получателя, указанный в пакетах данных, и определяет по таблице маршрутизации путь, по которому следует передать данные. Если в таблице маршрутизации для адреса нет описанного маршрута, пакет отбрасывается.
Существуют и другие способы определения маршрута пересылки пакетов, когда, например, используется адрес отправителя, используемые протоколы верхних уровней и другая информация, содержащаяся в заголовках пакетов сетевого уровня. Нередко маршрутизаторы могут осуществлять трансляцию адресов отправителя и получателя, фильтрацию транзитного потока данных на основе определённых правил с целью ограничения доступа, шифрование/дешифрование передаваемых данных и т. д.
Будет работать с любыми модемами.

Беспроводная "телефонная станция" для связи на небольших расстояниях между собой компьютеров, оснащенных приемопередатчиками каналов Wi-Fi. Часто, но далеко не всегда, содержит и встроенный модем для подключения к Интернету.

fi-wi не знаю. А wi-fi работает на всех модемах, где он установлен.