Чем отличается роутер от модема? И обязательно ли, что роутер с Wi-Fi или уже без Wi-Fi?(см внутри описание)

Я бы сказал что обычно ADSL модем встраивается в некоторые модели роутеров. Соответственно и точка вафли тоже в роутер встраивается. Мало того на некоторых моделях есть USB порты в которые можно включить 3G/4G модемы. А так да все верно поняли. :)

Модем - это устройство, которое преобразует нецифровой сигнал в понятный для компьютера ЦИФРОВОЙ, и обратно в нецифровой. Модем нужен при подключении к телефонной сети (проводной и беспроводной связи) . Если же у Вас к компьютеру идет LAN-кабель, который уже несет цифровой сигнал, то модем не нужен.
Назначением роутера является раздача сигнала на несколько устройств.

Большинство современных модемом с функцией роутера

Роутер - это разветвитель. Как тройник на эл. розетке. Только "умный", с разными настройками и регулировками. Если сигнала нет, то роутер бесполезен. Кстати, неуправляемый разветвитель тоже есть, и называется концентратор или хаб. Модем - это приёмопередатчик. Как радиостанция. Технически можно объединять, делать их проводными или без. Или комбинированными.

Модем он ловит сигнал с ближайшей вышки а wifi ловит сигнал от роутера

Adsl это телефонный стандарт и его подключение в устройство с портом под тел. кабель, если модем то он не может раздавать по беспроводному подключению (wi fi), он только дает инет по проводу компу, роутеру (без адсл разъема ), свичу для локальной сети и многим другим устройствам поддерживающим коннектор витой пары (rg 45).
А роутер это устройство раздающее локальную сеть, интернет через вай фай. Так что если в роутере нет адсл разьема в роутере а нужен нет через адсл то подключается модем через кабель к роутеру (без адсл разъема )и все или покупается роутер с адсл разъемом.