А если нет локального интернета, можно ли пользоваться роутером для выхода в интернет?

А где возьмете источник интернета?

Роутер - почитайте сначала что это такое.
Начнем, пожалуй, с описания участников и некоторых общих терминов. Первую иллюстрацию мы взяли из описания ZyXEL NBG460. Тут можно найти ПК, сетевой накопитель и принтер, ноутбук, приставку IPTV и смартфон. Не хватает только игровой консоли и медиаплеера.

Именно роутер (также часто называемый маршрутизатором) обеспечивает соединение всех устройств в единую домашнюю локальную сеть и обеспечение ее подключения к интернету. Варианты подключения к интернету могут быть разные. Например через Ethernet («Интернет-Билайн» , Net-by-Net и другие) , через Wi-Fi или 3G/4G модем, по технологии ADSL через телефон («СТРИМ» ) или через кабельный модем («АКАДО») . Последние два варианта требуют специального модема. Он может быть выполнен в виде отдельного устройства с портом Ethernet на выходе или же встроен прямо в роутер. В этом случае последний часто имеет соответствующую приставку в названии.
здесь как построить домашнюю сеть посредством роутера.

Если у соседа за стеной есть Интернет, то с помощью роутера он может с вами поделиться. Поговорите с ним.

Локальный интернет? Звучит )))
Вообщем вы все перепутали, для интернета Вам нужен либо "проводной" когда вам в дом прямо заведут кабель с интернетом либо через телефон (если он у вас есть) , либо всякими модемами для мобильного интернета

вы мне мозг сломали....

Ну если найдете "Халявный резский Wi-Fi соседский без пароля" ,то тогда без проблем. А без провайдера как бэ никак)